统计中的各种分布

• 大数定理：当样本数量足够大时，这些样本的均值无限接近总体的期望。
• 中心极限定理：不管样本总体服从什么分布，当样本数量足够大时，样本的均值以正态分布的形式围绕总体均值波动。

1. 伯努利分布：伯努利分布：伯努利试验单次随机试验，只有"成功（值为1）"或"失败（值为0）"这两种结果。又名两点分布或者0-1分布。

期望值：E(x)=p;

方差：Var(x)=pq;

2. 二项分布：假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x，发生这种情况的概率可用下面公式来计算（伯努利分布是二项分布在n = 1时的特殊情况）：

如果X ~ B(n, p)（也就是说，X是服从二项分布的随机变量），那么X的期望值为：

方差为：

3. 几何分布：几何分布（GeometricDistribution）:在伯努利试验中，得到一次成功所需要的试验次数X。X的值域是{ 1, 2, 3,... }; 在得到第一次成功之前所经历的失败次数Y = X − 1。Y的值域是{ 0, 1, 2,3, ... }。那么k次试验中，第k次才得到成功的概率是：

期望和方差分别为：

4. 泊松分布：泊松分布解决的是“在特定时间里发生n个事件的机率”。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率：

泊松分布的期望值和方差都是λ。在二项分布中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= np比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。

5. 正态分布又名高斯分布（英语：Gaussiandistribution），是一个非常常见的连续概率分布，其概率密度函数为：

通常所说的标准正态分布是位置参数mu =0，尺度参数sigma^2 = 1的正态分布。

6. 指数分布：指数分布（英语：Exponentialdistribution）是一种连续概率分布。指数分布是描述泊松分布中事件发生时间间隔的概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”。一个指数分布的概率密度函数是：

其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ Exponential（λ）。

期望：

方差：

7. T分布：根据中心极限定理，只要样本量足够大， 统计量的 抽样分布（如样本均值）将遵循正态分布。

但是样本量有时很小，并且我们通常不知道总体的标准偏差。

当这些问题中的任何一个出现时，统计学家依赖 t统计量（也称为 t分数）的分布，其值由下式给出：

t = [ x -μ] / [s / sqrt（n）]

其中x是样本均值，μ是总体均值，s是样本的标准偏差，n是样本大小。所述的分布被称为 t分布。

用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的平均值。如果方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。

（英国人威廉·戈塞（Willam S. Gosset）于1908年再次发现并发表了t分布，当时他还在爱尔兰都柏林的吉尼斯（Guinness）啤酒酿酒厂工作。酒厂虽然禁止员工发表一切与酿酒研究有关的成果，但允许他在不提到酿酒的前提下，以笔名发表t分布的发现，所以论文使用了“学生”（Student）这一笔名。之后t检定以及相关理论经由罗纳德·费雪（Sir Ronald Aylmer Fisher）发扬光大，为了感谢戈塞的功劳，费雪将此分布命名为学生t分布（Student's t））

8. 伽马分布：假设X1, X2, ... Xn 为连续发生事件的等候时间，且这n次等候时间为独立的，那么这n次等候时间之和Y (Y=X1+X2+...+Xn)服从伽玛分布，即 Y~Gamma(α , β)，其中α = n, β = λ。这里的 λ 是连续发生事件的平均发生频率。指数分布是伽玛分布α = 1的特殊情况。伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”。所以，伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总：

这里a=n, 当a=1时，伽马分布就是指数分布，所以伽马分布就是n个指数分布的和。伽马分布期望和方差：

Gamma分布中的参数α称为形状参数（shape parameter），β（就是λ）称为尺度参数（scale parameter）。

9. 卡方分布：chi-squaredistribution。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。若k个独立的随机变量Z1,Z2,⋯,Zk，且符合标准正态分布N(0,1)，则这k个随机变量的平方和：

服从卡方分布，记为：

卡方分布的期望，其中n为卡方分布的自由度。：

方差，其中n为卡方分布的自由度。：

χ2表示观察值与理论值之间的偏离程度。

χ2的计算公式：

其中，A为实际值，T为理论值。自由度的概念：自由度v=(行数-1)*(列数-1)。