为什么样本方差(sample variance)的分母是n-1？

完整的问题描述

如果已知随机变量X的期望为μ，那么可以如下计算方差σ^2：

上面的式子需要知道X的具体分布是什么（在现实应用中往往不知道准确分布），计算起来也比较复杂。

所以实践中常常采样之后，用下面这个S^2来近似σ^2：

其实现实中，往往连X的期望μ也不清楚，只知道样本的均值：

那么可以这么来计算S^2：

那么问题来了，为什么用样本均值X'代替总体均值μ后，分母变成了n-1？

为什么分母是n-1？

定性理解

我们不知道μ是多少的，只能计算出X'。不同的采样对应不同的X'：

对于某次采样而言，当μ=X'时，下式取得最小值：

我们也是比较容易从图像中观察出这一点，只要μ偏离X'，该值就会增大。

所以可知：

可推出：

进而推出：

可见，如果分母是n，倾向于低估σ^2。

定量分析

其中：

所以：

其中：

所以：

也就是说，低估了σ^2/n，进行一下调整：

因此使用下面这个式子进行估计，得到的就是无偏估计：