T检验

什么是T检验？

T检验是假设检验的一种，又叫student t检验（Student’s t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。

T检验用于检验两个总体的均值差异是否显著。

一个例子

“超级引擎”工厂是一家专门生产汽车引擎的工厂，根据政府发布的新排放要求，引擎排放平均值应低于20ppm，如何证明生产的引擎是否达标呢？（排放量的均值小于20ppm）

思路1

一个直接的想法就是，把这个工厂所有的引擎都测试一下，然后求一下排放平均值就好了。比如工厂生产了10个引擎，排放水平如下：

15.6 16.2 22.5 20.5 16.4
19.4 16.6 17.9 12.7 13.9


排放平均值为
(15.6+16.2+22.5+20.5+16.4+19.4+16.6+17.9+12.7+13.9)/10=17.17

小于政府规定的20ppm，合格！

这也太简单了！

然而，随着“超级引擎”工厂规模逐渐增大，每天可以生产出10万个引擎，如果把每个引擎都测试一遍，估计要累死人了……

有没有更好的方法？

思路2

由于引擎数量太多，把所有引擎测试一遍太麻烦了，“智多星”有一个好想法：

可不可以采用“反证法”？先假设所有引擎排放量的均值为μ，然后随机抽取10个引擎，看看这10个引擎的排放量均值与假设是否相符，如果相符，则认为假设是正确的，反之认为假设是错误的。这样，就可以通过一小部分数据推测数据的总体，真是太棒了！

具体怎么操作呢？

先建立两个假设，分别为:

1. H0:μ⩾20(原假设)
2. H1:μ<20 (备择假设)

μ代表总体(所有引擎的排放量)均值

在原假设成立的基础上，求出”取得样本均值或者更极端的均值”的概率，如果概率很大，就倾向于认为原假设H0是正确的，如果概率很小，就倾向于认为原假设H0H0是错误的，从而接受备择假设H1。

那么如何求这个概率p呢？

这就需要引入一个概念——统计量

简单的讲，统计量就类似于用样本已知的信息(如样本均值，样本标准差)构建的一个“标准得分”，这个“标准得分”可以让我们求出概率p。

由于样本服从正态分布，且样本数量较小(10)，所以这里要用到的统计量为t统计量，公式如下：

t=(x¯−μ)/(S/√n)∼t(n−1)

• x¯:样本均值
• μ:总体均值
• S:样本标准差
• n:样本容量

该t统计量服从自由度为n−1的t分布

让我们试验一下！

现在抽取出10台引擎供测试使用，每一台的排放水平如下：

15.6 16.2 22.5 20.5 16.4
19.4 16.6 17.9 12.7 13.9

样本均值

样本方差

样本标准差

我们把原假设μ⩾20拆分，先考虑μ=20的情况

将数值带入t统计量公式中，可以得出t=(17.17−20)/(2.98/√10)=−3.00由于t统计量服从自由度为9的t分布，我们可以求出t统计量小于-3.00的概率，即下图阴影部分面积

p值

通过查询t分位数表(见附录)，我们可知，当自由度为9时，t统计量小于-2.821的概率为1%，而我们求得的t统计量为-3.00，所以t统计量小于-3.00的概率比1%还要小(因为-3.00在-2.81的左边，所以阴影面积更小)。

这个概率值通常被称作“p值”，即在原假设成立的前提下，取得“像样本这样，或比样本更加极端的数据”的概率。

到这里，我们可以总结出如下结论：

在μ=20成立(所有引擎排放均值为20ppm)的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%

再考虑μ>20的情况:

由t统计量的公式t=(x¯−μ)/(S/√n)可以看出，当μ增大，其他变量均保持不变时，t统计量的值会变小，因此求概率时阴影面积也会变小。

总结来看，我们得出如下结论：

在μ⩾20成立的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%

由于1%的概率很小，所以我们更倾向于认为，原假设H0:μ⩾20是错误的，从而接受备择假设H1。

综上，我们认为，所有引擎的排放量均值小于20ppm，工厂生产的引擎符合标准。

第一类错误与第二类错误

在例1中，我们认为1%的概率很小，所以更倾向于认为原假设是错误的，从而接受了备择假设。但这样的判断是准确的吗？为了探讨这个问题，我们考虑以下四种情况：

即：

1. 如果事实为H0成立，而我们做出了接受备择假设H1的判断，则犯了第一类错误——拒真
2. 如果事实为H1成立，而我们做出了接受原假设H0的判断，则犯了第二类错误——取伪

所以用另外一种角度来看上面的例子：

在μ⩾20成立的前提下，从所有引擎中随机选出10个引擎，这10个引擎排放均值小于17.17的概率小于1%，当我们据此做出“拒绝原假设H0，接受备择假设H1”的结论时，有小于1%的概率犯第一类错误，因为H0仍有小于1%的概率是成立的，虽然这个概率很小。

α值

所以利用t检验做出的结论并不是百分之百正确的，仍有很小的几率会犯错误。对于上面的例子，有些人会认为1%的概率已经很小了，可以拒绝原假设，还有些人会认为1%的概率虽然很小，但不足以拒绝原假设。

为了解决这个问题，统计学家们提出了一个阈值，如果犯第一类错误的概率小于这个阈值，就认为可以拒绝原假设，否则认为不足以拒绝原假设。这个阈值就叫α。

另一种流程

现在，让我们尝试引入α，用另一种流程解决例1：

1. 建立原假设和备择假设

H0:μ⩾20

H1:μ<20

2. 确定α

令α=0.05(α的值通常为0.01,0.05,0.1，视具体问题而定)

3. 确定用于决策的拒绝域

在确定了α和t统计量自由度(根据样本容量可以求出，在这个例子中，自由度为[样本容量-1]）的前提下，我们可以通过查询t分位数表，找出“拒绝域”，如果t统计量落入拒绝域内，就拒绝原假设，否则接收原假设。

根据t分位数表，我们查出当自由度为9时，t⩽−1.833的概率为0.05，因此，拒绝域为{t|t⩽−1.833}

4. 查看样本结果是否位于拒绝域内

将样本均值和样本标准差带入t统计量计算公式，得出t=-3.00，落入拒绝域内

5. 做出决策

拒绝原假设H0，接受备择假设H1，认为样本均值与总体均值差异显著，认为所有的引擎排放量平均值小于20ppm

以上就是t检验的标准化流程。

假设形式与拒绝域的推广

在例1中，我们的假设形式为：

H0:μ⩾x0

H1:μ<x0 (x0为某一常数)

拒绝域的形式为{t|t⩽c} (cc为某一常数)，如果用数轴表示，形如：

假设的形式与拒绝域的形式有没有什么联系呢？

为了进一步讨论，我们将假设的形式做如下分类：

类别1：备择假设中包含≠

• 1.1 H0:μ=x0 vs H1:μ≠x0

类别2：备择假设中包含>或<

• 2.1 H0:μ=x0 vs H1:μ>x0
• 2.2 H0:μ=x0 vs H1:μ<x0
• 2.3 H0:μ⩾x0 vs H1:μ<x0
• 2.4 H0:μ⩽x0 vs H1:μ>x

注意：原假设和备择假设不一定将数轴全部覆盖，在实际生活中，形如2.1和2.2的问题是存在的

类别1称为双尾检验，由于备择假设中包含≠，拒绝域分布在两侧：

类别2称为单尾检验

备择假设中包含>的情形，拒绝域在数轴右侧：

备择假设中包含<的情形，拒绝域在数轴左侧：

t检验的分类

t检验分为单总体t检验和双总体t检验

单总体t检验

检验一个样本平均数与一个已知的总体平均数差异是否显著。

适用条件：

1.总体服从正态分布

2.样本量小于30（当样本量大于30时，用Z统计量)

统计量：

• x¯——样本均值
• μ——总体均值
• S——样本标准差
• n——样本容量

例1就是单样本t检验的例子。

双总体t检验

检验两个样本各自所代表的总体的均值差异是否显著，包括独立样本t检验和配对样本t检验。

独立样本t检验

检验两个独立样本所代表的总体均值差异是否显著。

适用条件：

1.两样本均来自于正态总体

2.两样本相互独立

3.满足方差齐性（两总体方差相等）

统计量：

其中

• x¯——第一个样本均值
• y¯——第二个样本均值
• m——第一个样本容量
• n——第二个样本容量
• S21——第一个样本方差
• S22——第二个样本方差

配对样本t检验

检验两个配对样本所代表的总体均值差异是否显著。

配对样本主要包含以下两种情形：

1.同源配对,也就是同质的对象分别接受两种不同的处理。

例如：为了验证某种记忆方法对改善儿童对词汇的记忆是否有效，先随机抽取40名学生，再随机分为两组。一组使用该训练方法，一组不使用，三个月后对这两组的学生进行词汇测验，得到数据。问该训练方法是否对提高词汇记忆量有效？

2.自身配对

某组同质对象接受两种不同的处理。

例如：某公司推广了一种新的促销方式，实施前和实施后分别统计了员工的业务量，得到数据。试问这种促销方式是否有效？

适用条件：

每对数据的差值必须服从正态分布

统计量：

两配对样本对应元素做差后形成的新样本

• xd¯——新样本均值
• Sd——新样本标准差
• n——新样本容量

附录

什么是t分布

t分布的形状与正态分布很相似，都是中间高，两端低的“钟形”。

当t分布的自由度为无穷大时，其形状与正态分布相同，随着自由度的减小，t分布的中间变低，两端变高，与正态分布相比更加“平坦”。

t分布接近于正态分布N(0,1)（灰色的虚线就是N(0,1)），下面是ν=2的t分布：

而t值，实际上对应的就是横坐标的值，比如说t值等于4。

t=4之后的曲线下面积其实就是P值：

为什么t统计量服从t分布

单样本t检验

独立样本t检验

配对样本t检验

可将两配对样本对应元素做差，得到新样本，这个新样本可视作单样本，与单样本t检验统计量证明方法相同。

p值参照表

t分位数表