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一、前置公式定理
1、相关元素说明
x(n) 分解为实部序列与虚部序列
x(n) 可以分解为 实部序列
x_R(n) 和 虚部序列
j x_I(n) :
x(n) = x_R(n) + j x_I(n)x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )
根据序列对称分解定理 ,
x(n) 还可以由序列的 共轭对称序列
x_e(n) 和 共轭反对称序列
x_o(n) 之和表示 ;
x(n) = x_e(n) + x_o(n)X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列
x(n) 的傅里叶变换
X(e^{j\omega}) 也可以分解为 实部序列
X_R(e^{j\omega}) 和 虚部序列
j X_I(e^{j\omega}) :
X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega})X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )
根据 傅里叶变换的共轭对称分解 ,
x(n) 的傅里叶变换 , 可以由
x(n) 的 共轭对称序列 的傅里叶变换
X_e(e^{j\omega}) 与
x(n) 的 共轭反对称序列 的傅里叶变换
X_o(e^{j\omega}) 之和表示 ;
X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega})2、序列对称分解定理
任意一个 序列
x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列
x_e(n) 与 共轭反对称序列
x_o(n) 之和来表示 ;
x(n) = x_e(n) + x_o(n)共轭对称序列
x_e(n) 与 原序列
x(n) 之间的关系如下 :
x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]共轭反对称序列
x_o(n) 与 原序列
x(n) 之间的关系如下 :
x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]3、傅里叶变换定义
序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;
x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;
x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \infty连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}就是
x(n) 的 序列傅里叶变换 SFT ;
\omega 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;
X(e^{j \omega}) 是 实的连续的 变量
\omega 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;
X(e^{j\omega}) = X_g(e^{j\omega}) + jX_l(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}|X(e^{j\omega})| 模 是其 " 幅频特性 " ,
e^{j\theta(\omega)} 相角 是其 " 相频特性 " ,
其中
\theta(\omega) = \arg(X(e^{j\omega}))二、证明共轭对称序列的傅里叶变换是原序列傅里叶变换的实部
证明下面的公式 :
x(n) 的 共轭对称序列
x_e(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列
X_R(e^{j \omega})x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})1、共轭对称序列分解
根据 序列对称分解定理 , 可得
x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)]对
x_e(n) 求傅里叶变换 , 也就是对
0.5[x(n) + x^*(-n)] 求傅里叶变换 ;
2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换
根据傅里叶变换定义 :
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}可得
x^*(-n) 的傅里叶变换 是
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(-n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ①令
-n = n' , 则 上式 ① 可以写成 :
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(-n) e^{-j \omega n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n') e^{j \omega n'} \ \ \ \ ②将
n' 写成
n , 可以得到下面的式子 :
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{j \omega n} \ \ \ \ ③根据
( a + b )^* = a^* + b^*公式 , 将上式 ③ 中的 共轭
^* 提取到外面 :
[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^* \ \ \ \ ③可以得到上面的 ③ 式就是
X^*(e^{j\omega}) ;
3、求 x_e(n) 的傅里叶变换
对
x_e(n) 求傅里叶变换 , 也就是对
0.5[x(n) + x^*(-n)] 求傅里叶变换 ;
其中
x(n) 的傅里叶变换是
X(e^{j\omega}) ,
x^*(-n) 的傅里叶变换是
X^*(e^{j\omega}) ;
综合上述 , 可得 :
SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{j\omega}) + 0.5 X^*(e^{j\omega})X(e^{j\omega}) 的虚部是正的 ,
X^*(e^{j\omega}) 的虚部是负的 , 这两个虚部正好抵消 , 只剩下了实部 ,
而
X(e^{j\omega}) 可以分解为实部
X_R(e^{j\omega}) 和 虚部
j X_I(e^{j\omega}) , 虚部抵消 , 只剩下实部 ,
X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega})因此得到 :
SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{j\omega}) + 0.5 X^*(e^{j\omega}) = X_R(e^{j \omega})最终得到 :
x(n) 的 共轭对称序列
x_e(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列
X_R(e^{j \omega})x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega})
