数学建模|饺子最多能包多少馅?
饺子是深受中国人民喜爱的传统特色食品,又称水饺,是中国民间的主食和地方小吃,也是年节食品。有一句民谣叫“大寒小寒,吃饺子过年。”饺子多用面皮包馅水煮而成。
饺子包法,以月牙形和花边饺子为例,右手推着不动,左手推褶。中间对折捏上,把饺子架在虎口上,向中间挤。而花边饺子是饺子皮对折,并将边缘轻轻捏紧,左边边开始,用拇指和食指指腹轻轻地捏一下,用拇指和食指将捏好的饺子边折上去,并轻轻地捏一下,依次这样捏。
如图1所示,假定擀面杖的直径为8cm,饺子皮为半径为r的圆形。我们的问题是如何弯曲饺子皮,以最大限度地容纳馅。
图1
首先将饺子皮折叠在擀面杖周围,设
表示从饺子皮中心到直径上的点
的距离。如图2所示的坐标系,擀面杖的圆周的方程为
,点
处的截面高度为
。包馅的区域(图中阴影部分)截面积
图2
注意到
接近于边缘
,非常小,而当
接近中心
时,会超过180度。
令
通过数值方法求得当
时,
有最大值