【AI】浅谈梯度下降算法（理论篇）
前言
在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent） 是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。
目前正在学习这方面相关的内容，因此简单谈谈与梯度下降法相关的内容。
梯度
梯度下降
梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最陡下降法，但是不该与近似积分的最陡下降法（英语：Method of steepest descent）混淆。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的 反方向 的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度 正方向 迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。
上述对梯度下降法的描述来自于维基百科，简单概括一下就是 选取适当的初值 x0，不断迭代更新 x的值，极小化目标函数，最终收敛；
在进行算法推导时，我们还需要注意一些概念：
步长（Learning rate）：步长决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度。特征（feature）：指的是样本中输入部分，比如2个单特征的样本（ (x(0),y(0)），（(x(1),y(1)），则第一个样本特征为 x^(0），第一个样本输出为 y^(0)。假设函数（hypothesis function）：在监督学习中，为了拟合输入样本，而使用的假设函数，记为 hθ(x)。比如对于单个特征的 m 个样本( (x^(i),y^(i))(i=1,2,...,m)，可以采用拟合函数如下： hθ(x)=θ0+θ1x损失函数（loss function）：为了评估模型拟合的好坏，通常用损失函数来度量拟合的程度。损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优参数。在线性回归中，损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。 比如对于 m 个样本 (xi,yi)(i=1,2,...,m)，采用线性回归，损失函数为：
其中 xi表示第 i个样本特征，yi 表示第 i个样本对应的输出，hθ(xi)为假设函数。
算法推导
先决条件： 在线性回归的前提下，确认优化模型的假设函数和损失函数。
1、确定当前位置的损失函数的梯度，对于 θi，其梯度表达式如下：
2、用步长 α （这里指机器学习中的学习率更为合适） 乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即
3、确定是否所有的 θi，梯度下降的距离都小于 ε，如果小于 ε 则算法终止，当前所有的 θi(i=0,1,...n) 即为最终结果，否则进入步骤4；
4、更新所有的 θ，对于 θi，其更新表达式如下，更新完毕后继续转入步骤1；
TIP
损失函数如前面先决条件所述：
则在算法过程步骤1中对于 θi的偏导数计算如下：
由于样本中没有 x0，上式中令所有的 x0^j为1，步骤4中 θi 的表达式更新如下：
从这个例子可以看出当前点的梯度方向是由所有的样本决定的；
后记
上述就是本篇博文的所有内容了，比较细致的介绍了梯度以及梯度下降算法相关的内容，下一篇博文 【AI】浅谈梯度下降算法（实战篇） 我们将结合代码，通过实战对梯度下降知识点进行巩固和加深印象，深入理解其中的奥义！
参考：