【Java数据结构】二叉树详解（一）

E绵绵

发布于 2024-06-06 08:31:02

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1.❤️❤️前言~🥳🎉🎉🎉

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2.树的概念及表示

2.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下特点： 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti（1<=I<=m）又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。 树是递归定义的。

如上就是一个典型的树，注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推 树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4 树的如下概念只需了解，我们只要知道是什么意思即可： 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟结点 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2.2树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。 我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法，如下图所示：

3.二叉树

3.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

注意以上都是二叉树。特别注意：空树（结点为0的树）也是二叉树。所以在实际应用中，空树常常作为一种特殊的情况去处理，我们如果忽视了空树就会导致报错。

3.2特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^h- 1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

（重点）

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的完全二叉树的深度：h=Log2(n+1)上取整. (ps：Log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有

 1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2     i=0，i为根节点编号，无双亲节点
 2. 若2i+1<n，则i节点存在左孩子序号：2i+1>=n则i节点无左孩子
 3. 若2i+2<n，则i节点存在右孩子序号：2i+2>=n则i节点无右孩子

3.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。 顺序存储是用数组来存储的，关于二叉树的顺序存储我们到讲解堆时再介绍。

二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系，通过一个一个的节点引用起来。

常见的表示方式有孩子表示法（二叉表示法）和孩子双亲表示法（三叉表示法）

当前我们学习中一般都是用孩子表示法，通常是链表中每个结点由三个域组成：数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

而在后面课程我们学到高阶数据结构如红黑树等会用到孩子双亲表示法（三叉表示法）。


// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
 
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent;    // 当前节点的前驱节点
}

4.二叉树的模拟——前置说明

在学习二叉树的相关基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。 注意：这里我们是用链式存储去模拟二叉树。

public class BinaryTree {
   static  class  BTNode{
        int value;
        BTNode left;
        BTNode right;

        public BTNode(int value) {
            this.value = value;
        }
    }
    public  BTNode creatBinaryTree(){
        BTNode btNode1=new BTNode(1);
        BTNode btNode2=new BTNode(2);
        BTNode btNode3=new BTNode(3);
        BTNode btNode4=new BTNode(4);
        BTNode btNode5=new BTNode(5);
        BTNode btNode6=new BTNode(6);
        BTNode btNode7=new BTNode(7);
       btNode1.left =btNode2;
        btNode1.right=btNode3;
        btNode2.left=btNode4;
        btNode2.right=btNode5;
       btNode3.right=btNode6;
        btNode5.left=btNode7;
        return btNode1;
    }

创建了如下二叉树：

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

5.二叉树的模拟——遍历

学习二叉树结构，我们第一要学的就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加 1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式： NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。 LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。 LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

5.1前序遍历

前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

图3.13所示二叉树访问如下：从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A; 继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B；按照同样规则，输出D，输出H；当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I； I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E；向E左子树，故输出J；按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；则3.13所示二叉树的前序遍历输出为： ABDHIEJCFG

5.2中序遍历

中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

图3.13所示二叉树中序访问如下：从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H； H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D，而后访问右子树,输出I，再返回；由D返回至B，第二次到达B，故输出B，而后访问右子树，依次输出J，E，而后返回；按照同样规则继续访问，输出A、F、C、G；则3.13所示二叉树的中序遍历输出为： HDIBJEAFCG

5.3后序遍历

后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。

图3.13所示二叉树后序访问如下：从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H；到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H； H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；由H返回至D，第二次到达D，不输出D；继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；返回至D，此时第三次到达D，故输出D；按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；则图3.13所示二叉树的后序遍历输出为： HIDJEBFGCA

5.4层次遍历

层次遍历就是按照树的层次自上而下，从左往右遍历的二叉树。

针对图3.13所示二叉树的层次遍历结果为：ABCDEFGHIJ

5.5遍历常考考点

对于二叉树的遍历有一类典型题型。 （1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。 例题：若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF，中序遍历为CBAEDF，请画出这棵二叉树。分析：前序遍历第一个输出结点为根结点，故A为根结点。中序遍历中根结点处于左右子树结点中间，故结点A的左子树结点有CB，右子树的结点有EDF。如图3.14所示：