【数据结构】后缀（逆波兰）表达式的计算以及中缀转后缀的方法

一、后缀（逆波兰）表示法定义

我们小学学数学的时候，有一句话是老师反复强调的，“先乘除，后加减，从左算到右，先括号内后括号外”。这个大家都不陌生。比如 9+（3－1）×3+10÷2，这是一个非常简单的题目，心算也可以很快算出是 20。可就这么简单的题目，以前的计算器却不能在一次输入后马上得出结果, 因为它们只能单纯的对两个数及进行加减运算，很是不方便。

当然，后来出的计算器就高级多了，它引入了四则运算表达式的概念，也可以输入括号了，所以现在的 00 后的小朋友们，更加可以偷懒、抄近路做数学作业了。那么在新式计算器中或者计算机中，它是如何实现的呢？如果让你用 C 语言或其他高级语言实现对数学表达式的求值，你打算如何做？这里面的困难就在于乘除在加减的后面，却要先运算，而加入了括号后，就变得更加复杂。不知道该如何处理。

但仔细观察后发现，括号都是成对出现的，有左括号就一定会有右括号，对于多重括号，最终也是完全 嵌套匹配 的。这用 栈结构 正好合适，只有碰到左括号，就将此左括号进栈，不管表达式有多少重括号，反正遇到左括号就进栈，而后面出现右括号时，就让栈顶的左括号出栈，期间让数字运算，这样，最终有括号的表达式从左到右巡查一遍，栈应该是由空到有元素，最终再因全部匹配成功后成为空栈的结果。

但对于四则运算，括号也只是当中的一部分，先乘除后加减使得问题依然复杂，如何有效地处理它们呢？我们伟大的科学家想到了好办法。

20世纪50年代，波兰逻辑学家Jan Łukasiewicz，当时也和我们现在的同学们一样，困惑于如何才可以搞定这个四则运算，不知道他是否也像牛顿被苹果砸到头而想到万有引力的原理，或者还是阿基米德在浴缸中洗澡时想到判断皇冠是否纯金的办法，总之他也是灵感突现，想到了一种不需要括号的后缀表达法，我们也把它称为逆波兰（Reverse Polish Notation，RPN）表示。

我们先来看看，对于“9+（3－1）×3+10÷2”，如果要用后缀表示法应该是什么样子：“9 3 1－3*+10 2 /+”，这样的表达式称为 后缀表达式，叫后缀的原因在于 所有的符号都是在要运算数字的后面出现 。显然，这里没有了括号。对于从来没有接触过后缀表达式的同学来讲，这样的表述是很难受的。不过你不喜欢，有机器喜欢，比如我们聪明的计算机。

二、中缀表达式转后缀表达式

1. 传统方法

我们把平时所用的标准四则运算表达式，即“9+（3－1）×3+10÷2”叫做中缀表达式。因为所有的运算符号都在两数字的中间，现在我们的问题就是中缀到后缀的转化。中缀表达式“9+(3－1)×3+10÷2”转化为后缀表达式“9 3 1－3 *+ 10 2 /+ ”。

规则： 从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号

• 若是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分；
• 若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级低于栈顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。

1. 初始化一空栈，用来对符号进出栈使用。如图 2-1-1 的左图所示。

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1. 第一个字符是数字 9，输出 9，后面是符号“+”，进栈。如图 2-1-1 的右图所示。
2. 第三个字符是“（”，依然是符号，因其只是左括号，还未配对，故进栈。如图 2-1-2 的左图所示。
3. 第四个字符是数字 3，输出，总表达式为 9 3，接着是“－”，进栈。如图 2-1-2 的右图所示。

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1. 接下来是数字 1，输出，总表达式为 9 3 1，后面是符号“）”，此时，我们需要去匹配此前的“（”，所以栈顶依次出栈，并输出，直到“（”出栈为止。此时左括号上方只有“－”，因此输出“－”。总的输出表达式为 9 3 1－。如图 2-1-3 的左图所示。
2. 接着是数字 3，输出，总的表达式为 9 3 1 – 3。紧接着是符号“×”，因为此时的栈顶符号为“+”号，优先级低于“×”，因此不输出，“*”进栈。如图 2-1-3 的右图所示。

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1. 之后是符号“+”，此时当前栈顶元素“*”比这个“+”的优先级高，因此栈中元素出栈并输出（没有比“+”号更低的优先级，所以全部出栈），总输出表达式为 9 3 1－3 *+。然后将当前这个符号“+”进栈。也就是说，前 6 张图的栈底的“+”是指中缀表达式中开头的 9 后面那个“+”，而图 2-1-4 左图中的栈底（也是栈顶）的“+”是指“9+（3－1）×3+”中的最后一个“+”。
2. 紧接着数字 10，输出，总表达式变为 9 3 1－3 *+10。后是符号“÷”，所以“/”进栈。如图 2-1-4 的右图所示。

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1. 最后一个数字 2，输出，总的表达式为 9 3 1 – 3 *+10 2。如图 2-1-5 的左图所示。
2. 因已经到最后，所以将栈中符号全部出栈并输出。最终输出的后缀表达式结果为 9 3 1 – 3 *+102 /+。如图 2-1-5 的右图所示。

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2. 简单方法

1. 若有一个中缀表达式 9+（3－1）×3+10÷2，先将其以从左至右，先乘除，后加减的顺序，给表达式加上括号，如图 2-2-1 所示。
   1. 从左至右，首先会计算 (3 - 1) * 3 这一部分，为其加上括号
   2. 再右边，会计算 10 / 2 这一部分，为其加上括号
   3. 从头再来，乘除没有了，会开始计算 9 + ((3 - 1) * 3) 这一部分，为其加上括号
   4. 最后，计算整体，为整个计算式加上括号

   

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1. 然后将每个括号里面的算术符号提到本括号的外面，如图 2-2-2

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1. 最后将所有的括号都去掉，就得到了后缀表达式 9 3 1 – 3 *+10 2，如图 2-2-3

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前面说后缀表达法可以很顺利解决计算的问题，但虽然我们得到了后缀表达式，可是计算机又是如何通过后缀表达式计算出结果的呢？这个问题不搞清楚，等于没有解决，接下来就让我们来看看如何计算 9 3 1－3 *+10 2 /+

三、后缀表达式计算结果

为了解释后缀表达式的好处，我们先来看看，计算机如何应用后缀表达式计算出最终的结果 20 的。 后缀表达式：9 3 1－3 *+10 2 /+

规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。

1. 初始化一个空栈。此栈用来对要运算的数字进出使用。如图 3-1 的左图所示。

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1. 后缀表达式中前三个都是数字，所以 9、3、1 进栈，如图 3-1 的右图所示。
2. 接下来是“－”，所以将栈中的 1 出栈作为减数，3 出栈作为被减数，并运算 3－1 得到 2，再将 2 进栈，如图 3-2 的左图所示。

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1. 接着是数字 3 进栈，如图 3-2 的右图所示。
2. 后面是“*”，也就意味着栈中 3 和 2 出栈，2 与 3 相乘，得到 6，并将 6 进栈，如图 3-3 的左图所示。

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1. 下面是“+”，所以栈中 6 和 9 出栈，9 与 6 相加，得到 15，将 15 进栈，如图 3-3 的右图所示。
2. 接着是 10 与 2 两数字进栈，如图 3-4 的左图所示。

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1. 接下来是符号“/”，因此，栈顶的 2 与 10 出栈，10 与 2 相除，得到 5，将 5 进栈，如图 3-4 的右图所示。
2. 最后一个是符号“+”，所以 15 与 5 出栈并相加，得到 20，将 20 进栈，如图 3-5 的左图所示。
3. 结果是 20 出栈，栈变为空，如图 3-5 的右图所示。

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从刚才的推导中你会发现，要想让计算机具有处理我们通常的标准（中缀）表达式的能力，最重要的就是两步：

1. 将中缀表达式转化为后缀表达式（栈用来进出运算的符号）。
2. 将后缀表达式进行运算得出结果（栈用来进出运算的数字）。整个过程，都充分利用了栈的后进先出特性来处理，理解好它其实也就理解好了栈这个数据结构。

四、算法实现

public int evalRPN(String[] tokens) {  
    Stack<Integer> stack = new Stack<>();  
  
    for (int i = 0; i < tokens.length; i++) {  
        //定义一个tmp用来接收数组的值  
        String tmp = tokens[i];  
        
        //如果传入的是符号，则出栈两个元素，进行运算，然后再将结果压入栈中  
        if (tmp.equals("+") || tmp.equals("-") || tmp.equals("*") || tmp.equals("/")) {  
            int val1 = stack.pop();  
            int val2 = stack.pop();  
            switch (tmp) {  
                case "+":  
                    stack.push(val2 + val1);  
                    break;  
                case "-":  
                    stack.push(val2 - val1);  
                    break;  
                case "*":  
                    stack.push(val2 * val1);  
                    break;  
                case "/":  
                    stack.push(val2 / val1);  
                    break;  
            }        
        }else {  
            //如果传入的不是符号，将字符串tmp转化为Integer类型的数据，再压入栈中  
            Integer val = Integer.valueOf(tmp);  
            stack.push(val);  
        }    
    }    
    //最终，返回栈中的最后一个元素，这就是计算出的结果  
    return stack.pop();  
}