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算法入门（六）—— 一文搞懂逻辑回归（内附Kaggle实战源码与数据集）

万事可爱^

发布于 2025-01-23 11:04:18

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大家好！欢迎来到我们的“算法入门”系列。今天我们要聊聊机器学习中的一位“老朋友”——逻辑回归。如果你对它的名字感觉既熟悉又陌生，别担心，今天我们会带你一起深入了解它的原理、公式以及在实践中的应用。最重要的是，我们会通过一个Kaggle实战项目，让你能够轻松上手！

准备好了吗？让我们一起开始这段学习之旅吧！

1. 逻辑回归概述

逻辑回归，听起来像回归分析的“亲戚”，但实际上它是一种分类算法。嗯，确实很让人困惑！线性回归是用来预测一个连续变量的数值，而逻辑回归虽然名字里有“回归”，但实际上它是用来做二分类（或者多分类）问题的算法，比如判断某个邮件是否为垃圾邮件，某个图片里是不是猫，等等。

1.1 线性回归与逻辑回归的关系

想象一下，我们用线性回归来做分类问题，假设我们有两个类别：类别 0 和类别 1。在标准的线性回归中，我们直接预测一个数值，而这个数值是无限的，可以正数、负数。

但是，如果我们直接用线性回归来做分类预测，那结果就会出现问题。例如，预测的值可能是 -10，也可能是 100，这样的结果对分类来说完全没有意义。我们更关心的是类别的概率值，0 到 1 之间的一个概率值。

逻辑回归的核心思想就是：将线性回归的预测结果（一个任意实数）通过一个Sigmoid函数（逻辑函数）转化为一个概率值，进而做分类。

1.2 Sigmoid函数的引入

Sigmoid函数是一个S型曲线，数学表达式为：

$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

当

$( z \to +\infty )时，( \sigma(z) )会趋近于 1；当 ( z \to -\infty ) 时，( \sigma(z) )$

会趋近于 0。因此，它的输出总是在 0 到 1 之间，非常适合用来表示概率。

Sigmoid函数在神经网络中也很常见，其图形形状如下图所示：

那么，逻辑回归的最终输出就可以通过如下公式得到：

$\hat{y} = \sigma(w^T x + b)$

其中，

$( x )$

是输入特征，

$( w )$

是模型参数（权重），

$( b )$

是偏置项，

$( \hat{y} )$

是预测的概率值。

2. 对数似然损失函数与梯度下降优化

逻辑回归的目标是训练出一组模型参数 ( w ) 和 ( b )，使得模型的预测概率与真实标签的差异最小。

2.1 对数似然损失函数

为了量化预测与真实标签之间的差异，我们使用对数似然损失函数（Log-Loss），它的形式如下：

$\mathcal{L}(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left[ y^{(i)} \log(\hat{y}^{(i)}) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - \hat{y}^{(i)}) \right]$

其中：

$( y^{(i)} )$

是第( i )个样本的真实标签（0 或 1）

$( \hat{y}^{(i)} )$

是模型预测的概率。

这个损失函数的意义是：我们希望模型能够预测出接近 1 或接近 0 的概率值。如果某个样本的真实标签是 1，预测值越接近 1，损失就越小；如果预测值越接近 0，则损失越大。

2.2 梯度下降优化

为了最小化损失函数，我们需要使用梯度下降算法来优化模型参数。梯度下降的核心思想是：通过计算损失函数对参数的偏导数（梯度），来调整参数

$( w ) 和 ( b )$

，使得损失函数逐渐减小，直到收敛到最优解。

梯度下降的更新公式如下：

$w := w - \alpha \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w}$

$b := b - \alpha \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b}$

其中，

$( \alpha )$

是学习率，控制每一步更新的步长。

3. 多分类逻辑回归（One-vs-Rest）

在实际问题中，我们通常面对的不只是二分类问题，还需要处理多分类问题。幸运的是，逻辑回归也能应对这种情况。

3.1 One-vs-Rest（OvR）策略

处理多分类问题时，最常见的一种方法是One-vs-Rest（也叫 One-vs-All）。这种策略的思路是：对于每一个类别，我们训练一个二分类模型，判断样本是否属于该类别。最终，分类的结果就是选择预测概率最大的那个类别。

例如，假设我们有 3 个类别：A、B、C，那么我们分别训练三个二分类模型：

模型 1：判断样本是否属于类别 A。
模型 2：判断样本是否属于类别 B。
模型 3：判断样本是否属于类别 C。

对于一个新的样本，我们将三个模型的预测结果进行比较，选择概率最大的类别作为最终的分类结果。

4. Kaggle实战：使用逻辑回归解决泰坦尼克号生存预测问题

现在，大家已经对逻辑回归有了一个清晰的理解。接下来，我们来动手做一个简单的Kaggle实战项目，通过逻辑回归来预测泰坦尼克号乘客的生存情况。

4.1 数据集介绍

我们将使用Kaggle上的“泰坦尼克号：机器学习生死预测”数据集。该数据集包含了泰坦尼克号上乘客的基本信息（如年龄、性别、票价等），我们需要预测每个乘客是否生还（Survived）。

4.2 数据预处理

首先，我们需要导入一些库，并加载数据集：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score, roc_curve, auc

# 加载数据集
train_data=pd.read_csv('/kaggle/input/titanic/train.csv')
train_data.head()

接下来，我们对数据进行预处理。泰坦尼克号数据集包含了缺失值，我们需要处理这些缺失值：

# 填充缺失值
data['Age'].fillna(data['Age'].mean(), inplace=True)
data['Embarked'].fillna(data['Embarked'].mode()[0], inplace=True)

# 选择特征列
features = ['Pclass', 'Sex', 'Age', 'SibSp', 'Parch', 'Fare', 'Embarked']

# 将类别变量（如 Sex 和 Embarked）转换为数值型
data['Sex'] = data['Sex'].map({'male': 0, 'female': 1})
data = pd.get_dummies(data, columns=['Embarked'], drop_first=True)

# 选择特征和标签
X = data[features]
y = data['Survived']

4.3 训练模型

接下来，我们将数据集拆分为训练集和测试集，然后训练逻辑回归模型：

# 拆分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)

# 初始化并训练逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 评估模型
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'模型准确率: {accuracy:.2f}')

# 计算AUC曲线相关值
y_pred_proba = model.predict_proba(X_test)[:, 1]  # 取正类的预测概率
fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_test, y_pred_proba)
roc_auc = auc(fpr, tpr)

模型训练完成后为了更直观的展示其效果，这里做出AUC曲线图。

import matplotlib.pyplot as plt
# 绘制AUC曲线
plt.figure()
plt.plot(fpr, tpr, color='darkorange', lw=2, label=f'ROC curve (area = {roc_auc:.2f})')
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='navy', lw=2, linestyle='--')
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.ylim([0.0, 1.05])
plt.xlabel('False Positive Rate')
plt.ylabel('True Positive Rate')
plt.title('Receiver Operating Characteristic')
plt.legend(loc="lower right")
plt.show()