微积分注1 关于数列和柯西数列

关于数列

1. 数列首先理解对应关系.

极限是我们高等数学（微积分）接触到的第一个概念. 描述一个序列的动态趋近过程. 给定一个数列 , 如果有通项公式（表达式），给定一个 就能对应有一个 . 有的书上称数列为整标函数. 例如 .

函数 , 给定一个 , 对应一个 , 有对应法则. 数列是所有的自变量都取正整数.

1. 我们无法穷举一个数列的所有项.

因为 是趋向于无穷的. 所以我们关注的是当 趋于无穷时, 这个数列的变化规律. 当 趋于无穷时, 这个数列是否趋向于某一个确定的数就是该数列的极限.

比如 ，当 时, 该数列越来越小, 且逐渐趋向于 0.

1. 极限的发展过程是很漫长的.

我们学数学分析的都知道有一个 Cauchy 数列, 也知道微积分的发展起自于牛顿和莱布尼兹. 实际上牛顿和莱布尼兹时代使用了无穷小等概念，但是极限的定义并没有严格化. 直到 Cauchy 才将极限的定义严格化，现在我们都要学到的 语言是 Weierstrass 的语言.

极限的定义讲，当 趋于无穷时, 可以无限的趋近于 , 则 是该数列的极限. 这个无限的趋近是什么意思，就是可以无限靠近，想要多近有多近。远近当然是用距离描述了。想要多近有多近其实是一个挺感性的描述，因为我们人脑能想象到的很近的距离在无穷小的世界里可能也会很大. 比如给一个 , 目之所及没有这么小的距离. 然而它还可以是 . 更超出了人们的视觉范围.

对于任意的正数 ，存在一个正整数 ，使得对于所有 ：

即，数列 的所有项在 足够大时，都落在以 为中心, 半径为 的区间内。

这里要注意的是从第 项之后的所有项，所有项是什么概念？就是很多很多，而且多的数不完，一直列举下去。

而这个 以为中心半径为的区间却是有限的。 这就形成了有限和无限的一个对比z。你就想象在一个有限的碗里面放绿豆，放上一些就放不下了，就要挤出来。一个绿豆就是数列中的一项。

这里只是一个形象的比喻。毕竟绿豆和实数还是有区别。我们限定在实数域内研究，不用考虑域是什么，就是我们熟悉的实数，整数，分数再加上根号， 那些数，有限的，无限的。总而言之肯定是很挤了，而且挤得密不透气你进去可能要窒息的那种

关于 Cauchy 数列

我们知道实数域内, Cauchy 数列一定收敛. Cauchy 数列一定收敛. 这个结论适用于所有的完备空间。比如有理数域就不行，意思是如果我们只考虑整数分数，不把 那些数都放进来的话，这个结论就成立不了. 这一点高等数学上不太强调。学高数时我们默认都是实数域.

先看下定义

若一个数列满足： ，使得当 时，满足 就称为 Cauchy 数列.

这个是想通过数列本身的特点刻画收敛数列的. 就是一个数列本身需要具备什么样特点的时候它才能收敛于一个数. 直观意思就是给定一个很小的距离，总能做到在某一项之后的所有项之间的距离可以小于给定的这个距离. 这个距离可以很小，比如 . 当然当 很大时，任意两项的距离可以任意小. 比如我们找到的 是 1000. 我们可以非常容易的想到第 1001 和 1003 项之间的距离近, 因为他们项本身就离得近. 然后我们却难以想象第 1001 项和第 10000000 项之间也离得很近. 这就像我们住在同一个小区，可以说我们离得很近，但是我说在呼市和在深圳的两个人也离得很近，估计也只能说是心的距离了，毕竟两千多公里。纵使远隔天涯，我们心依旧相依。海内存知己，天涯若比邻。有点这意思。

柯西列一定收敛，当然收敛的数列也一定是柯西列

详细的数列定义可以看下面这篇

魏尔斯特拉斯的数列极限-极限的精确定义

收敛数列的性质