狄利克雷过程与python实现

一、狄利克雷分布

一个狄利克雷分布可以表示为：

二、狄利克雷过程

狄利克雷过程实际上就是狄利克雷分布Dir(a,H)对应的变量维数由有限维向无限维扩充的情形。设想一个K非常大的狄利克雷分布Dir(a,H)。依狄氏分布的累加性，对H的支撑空间X的任意划分都将是一个一致的狄利克雷分布。所谓的一致，是指基础分布都由一个基础分布H衍生得到，中心因子是同一个参数α。

当狄利克雷分布的变量维度K扩展到无限维时，对应地支撑空间X变成连续空间，依据 Kolmogorov 一致性定理，分布就被扩展成一个随机过程，这个过程就叫狄利克雷过程。由于无限维空间上的分布很难形式化表示，可以用迪利克雷分布的累加一致性来定义，思想就是在这个连续空间无论如何划分，每个划分都一致地符合同一个狄利克雷分布（这里的同一个是指同一个基础分布H，和相同的中心因子α），那么可以判定在连续空间X上，变量维度K扩展到的无限维狄利克雷分布成为了狄利克雷过程。

因此可以正式定义迪利克雷过程：是指一个分布在X上的随机分布G（概率函数），使得对X的任意有限划分(A1,A2,....Ak),每个子空间Ak的累加概率值一致地符合如下迪利克雷分布：