一个简单的指数函数极限问题竟要动用两大 AI 共同分析？看两大 AI 在数学问题上各显神通

记录一下通过 AI 挖出来 SymPy 隐藏 Bug 的过程

引言：当 AI 开始“破案”

最近，我们在测试 SymPy 计算指数极限的诡异 Bug 时，发现 Gemini 和 DeepSeek 给出了完全不同的分析深度：

• DeepSeek 提供了快速解决方案，但没解释根本原因。
• Gemini 却像侦探一样，翻遍 GitHub、Stack Overflow，定位到具体的 Issue，最终揭示了问题的真正根源！

现在，我们就来复盘这场“AI 破案之旅”。

第一幕：问题重现——SymPy 的“灵异 Bug”

我们在 SymPy 中发现了一个奇怪现象：计算 2^x 当 x → -∞ 时，两种数学等价的方法，竟然给出不同结果！

exp(x * log(2)) == 2^x成立的证明

数学证明步骤

直觉上相等的等式，计算出来的结果却大相径庭

测试代码

按理说，exp(x * log(2)) == 2^x ，结果应该相同，但 SymPy 却“抽风”了！

运行结果

这背后到底隐藏着什么秘密？

第二幕：AI 对决——DeepSeek vs Gemini

🔍 DeepSeek 的回答（表面修复）

核心结论：

• “可能是 SymPy 的 2**x 没有自动简化，建议用 exp(x*log(2)) 或更新 SymPy。”

优点：

✅ 简单直接，适合只想解决问题的用户。

缺点：

❌ 没具体解释为什么 2**x 会出错。

deepseek 给出的分析

deepseek 给出的解决办法

deepseek 给出的示例代码

🕵️‍♂️ Gemini 的“侦探式分析”（深入底层）

Gemini 不仅给出了答案，还像程序员一样翻源码、查 Issue、分析算法，最终定位到问题根源！

1. 扒出 SymPy 的内部表示差异

• 2 ** x 在 SymPy 里是 Pow(2, x) 对象，而 exp(x*log(2)) 是 Exp 对象，SymPy 对它们的处理方式不同。
• 关键点：SymPy 不会自动把 Pow(2, x) 转成 exp(x*log(2))，因为复数域下这种转换可能有分支切割问题！

2. 发现 Gruntz 算法的“盲区”

• SymPy 的 limit() 依赖 Gruntz 算法，但该算法对 Pow 的处理有缺陷：
  • 不擅长处理复数幂（默认 x 是复数，除非声明 real=True）。
  • 未正确处理分支切割（如 log(z) 在负实数轴不连续）。

3. 定位到 GitHub Issue

Gemini 直接引用 SymPy 官方 Issue：

Issue #9075的引用

Issue #27551的引用

这意味着：

• 这不是用户的错，而是 SymPy 的历史遗留问题！
• 由于 2**x 可能涉及复数分支切割，Gruntz 算法无法安全简化，于是返回了错误结果 oo。

指出 cdir 缺陷导致方向参数处理漏洞

指出 mrv 算法的架构缺陷

总结根因

最终问题的定位与说明

第三幕：殊途同归，两大 AI 给出相同的建议

Gemini的建议

deepseek 的建议

根据 AI 的建议进行代码实测

from __future__ import annotations

from sympy import exp , limit , log , oo , symbols

"""
SymPy内部将2**x与exp(x*log(2))视为不同表达式结构
2**x 对应 Pow(Integer(2), Symbol('x'))
exp(x*log(2)) 对应 exp(Mul(Symbol('x'), log(Integer(2))))
该差异具有关键意义，表明极限算法会差异化处理二者而非自动转换形式

复数默认假设对极限计算的影响
核心发现在于：符号默认的复数假设是结果差异的根本原因。当x被视为复数时：
2**x会激活复数对数的多值分支特性
当x趋近负无穷时，分支切割可能导致未定义或错误的极限
limit函数虽强大，但在处理Pow表达式时可能忽略复数分支切割
反观exp(x*log(2))：
显式调用sympy.log
对正实底数默认采用主实数值
有效规避复数解释问题，输出正确的实数极限

SymPy不会自动将Pow(2,x)转为exp形式
复数域中 ln(z)=ln∣z∣+i(arg(z)+2kπ) 存在多值性
SymPy的log默认采用主值分支（辐角范围(−π,π]）
"""

def exponential_function_limitation():
    x = symbols('x' , real = True)
    expr_1 = exp(x * log(2))
    expr_2 = 2 ** x
    print('e^(x*ln2), x->-oo: ' , limit(expr_1 , x , -oo))
    print('2^x, x->-oo before fix:' , limit(expr_2 , x , -oo))
    print('2^x, x->-oo after fix:' , limit(expr_2.rewrite(exp) , x , -oo))


if __name__ == '__main__':
    exponential_function_limitation()

结果完全符合预期

Gemini 的“侦探模式”优势

1. 会查源码和 Issue，像程序员一样分析问题。
2. 区分“Bug”和“未实现功能”，避免误导用户。
3. 提供多种解决方案，适应不同场景需求。