在云计算领域,模运算的快速整数乘法算法通常比Schönhage-Strassen算法更快。这是因为模运算可以在大多数现代处理器上实现为高速指令集,而Schönhage-Strassen算法需要更多的计算资源。此外,模运算还可以在大多数现代处理器上实现为硬件加速,进一步提高了其性能。
因此,当需要进行大整数乘法时,使用模运算的快速整数乘法算法通常是一个更好的选择。此外,模运算还可以用于其他领域,如密码学和加密算法。
动态规划算法(Dynamic Programming) 展示互相覆盖的子问题和最优子架构算法 11. 欧几里得算法(Euclidean algorithm) 计算两个整数的最大公约数。...快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT) 计算离散的傅里叶变换(DFT)及其反转。该算法应用范围很广,从数字信号处理到解决偏微分方程,到快速计算大整数乘积。 14....Karatsuba乘法 需要完成上千位整数的乘法的系统中使用,比如计算机代数系统和大数程序库,如果使用长乘法,速度太慢。该算法发现于1962年。 18....Schönhage-Strassen算法 在数学中,Schönhage-Strassen算法是用来完成大整数的乘法的快速渐近算法。...维特比算法(Viterbi algorithm) 寻找隐藏状态最有可能序列的动态规划算法,这种序列被称为维特比路径,其结果是一系列可以观察到的事件,特别是在隐藏的Markov模型中。
13、快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT)——计算离散的傅里叶变换(DFT)及其反转。该算法应用范围很广,从数字信号处理到解决偏微分方程,到快速计算大整数乘积。...17、Karatsuba乘法——需要完成上千位整数的乘法的系统中使用,比如计算机代数系统和大数程序库,如果使用长乘法,速度太慢。该算法发现于1962年。...26、Schönhage-Strassen算法——在数学中,Schönhage-Strassen算法是用来完成大整数的乘法的快速渐近算法。...32、维特比算法(Viterbi algorithm)——寻找隐藏状态最有可能序列的动态规划算法,这种序列被称为维特比路径,其结果是一系列可以观察到的事件,特别是在隐藏的Markov模型中。...以上就是Christoph博士对于最重要的算法的调查结果。你们熟悉哪些算法?又有哪些算法是你们经常使用的?
快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT)——计算离散的傅里叶变换(DFT)及其反转。该算法应用范围很广,从数字信号处理到解决偏微分方程,到快速计算大整数乘积。...哈希算法(Hashing) 堆排序(Heaps) Karatsuba乘法——需要完成上千位整数的乘法的系统中使用,比如计算机代数系统和大数程序库,如果使用长乘法,速度太慢。...Schönhage-Strassen算法——在数学中,Schönhage-Strassen算法是用来完成大整数的乘法的快速渐近算法。...合并查找算法可以在此种数据结构上完成两个有用的操作: 查找:判断某特定元素属于哪个组 合并:联合或合并两个组为一个组 维特比算法(Viterbi algorithm)——寻找隐藏状态最有可能序列的动态规划算法...,这种序列被称为维特比路径,其结果是一系列可以观察到的事件,特别是在隐藏的Markov模型中。
10、动态规划算法(Dynamic Programming)——展示互相覆盖的子问题和最优子架构算法 11、欧几里得算法(Euclidean algorithm)——计算两个整数的最大公约数。...13、快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT)——计算离散的傅里叶变换(DFT)及其反转。该算法应用范围很广,从数字信号处理到解决偏微分方程,到快速计算大整数乘积。...17、Karatsuba乘法——需要完成上千位整数的乘法的系统中使用,比如计算机代数系统和大数程序库,如果使用长乘法,速度太慢。该算法发现于1962年。...26、Schönhage-Strassen算法——在数学中,Schönhage-Strassen算法是用来完成大整数的乘法的快速渐近算法。...32、维特比算法(Viterbi algorithm)——寻找隐藏状态最有可能序列的动态规划算法,这种序列被称为维特比路径,其结果是一系列可以观察到的事件,特别是在隐藏的Markov模型中。
快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT)——计算离散的傅里叶变换(DFT)及其反转。该算法应用范围很广,从数字信号处理到解决偏微分方程,到快速计算大整数乘积。 14....Karatsuba乘法——需要完成上千位整数的乘法的系统中使用,比如计算机代数系统和大数程序库,如果使用长乘法,速度太慢。该算法发现于1962年。 18....Schönhage-Strassen algorithm In mathematics, the Sch?...Schönhage-Strassen算法——在数学中,Schönhage-Strassen算法是用来完成大整数的乘法的快速渐近算法。...维特比算法(Viterbi algorithm)——寻找隐藏状态最有可能序列的动态规划算法,这种序列被称为维特比路径,其结果是一系列可以观察到的事件,特别是在隐藏的Markov模型中。
10 动态规划算法 Dynamic Programming 展示互相覆盖的子问题和最优子架构算法。 11 欧几里得算法 Euclidean algorithm 计算两个整数的最大公约数。...13 快速傅里叶变换 Fast Fourier transform,FFT 计算离散的傅里叶变换(DFT)及其反转。该算法应用范围很广,从数字信号处理到解决偏微分方程,到快速计算大整数乘积。...17 Karatsuba乘法 需要完成上千位整数的乘法的系统中使用,比如计算机代数系统和大数程序库,如果使用长乘法,速度太慢。该算法发现于1962年。...26 Schönhage-Strassen算法 在数学中,Schönhage-Strassen算法是用来完成大整数的乘法的快速渐近算法。...32 维特比算法 Viterbi algorithm 寻找隐藏状态最有可能序列的动态规划算法,这种序列被称为维特比路径,其结果是一系列可以观察到的事件,特别是在隐藏的Markov模型中。
至此,你可能还不明白上面说这一堆演变的原因,其实很简单,原来是一个的运算,这个运算中的模操作,正常情况下是要通过除法实现的,而除法是一个特别复杂的运算,要涉及到很多乘法,所以在大数运算时,我们要尽量避免除法的出现...蒙哥马利乘模 一个蒙哥马利乘模包括整数乘法和蒙哥马利约减,现在我们有蒙哥马利表示法: 它们相乘的结果是 最后,用一次蒙哥马利约减得到结果 上面我们可以看出,给出的输入参数是和, 得到的结果是,所以蒙哥马利乘法也可以写成如下形式...蒙哥马利幂模 最后,才说到我们最开始提到的RSA的核心幂模运算,先来看一下普通幂运算的算法是怎么得出来的。...以下资料来自于百度百科 针对快速模幂运算这一课题,西方现代数学家提出了大量的解决方案,通常都是先将幂模运算转化为乘模运算。...通过这个算法,我们可以实现快速幂模。
最大子序和 给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。...补充:大数相乘 大数乘法问题及其高效算法: https://blog.csdn.net/u010983881/article/details/77503519 模拟小学乘法:最简单的乘法竖式手算的累加型...; 分治乘法:最简单的是Karatsuba乘法,一般化以后有Toom-Cook乘法; 快速傅里叶变换FFT:(为了避免精度问题,可以改用快速数论变换FNTT),时间复杂度O(N lgN lglgN)。...具体可参照Schönhage–Strassen algorithm; 中国剩余定理:把每个数分解到一些互素的模上,然后每个同余方程对应乘起来就行; Furer’s algorithm:在渐进意义上FNTT...还快的算法。
首先,传统机器学习一般使用的是32-bit的基本运算,这些基本运算一般都有芯片指令的直接支持,而联邦学习中的Paillier/RSA算法依赖的是1024或2048-bit 甚至更长的大整数运算,且这些运算是模幂...基于这个思想,我们可以通过递归的方式将大整数乘法分解成很多可并行计算的小整数乘法,这样GPU就能发挥并行计算的优势完成大整数乘法的快速计算。...不仅如此,对于联邦学习涉及的其他大整数运算,也可以做类似的元素级并行。 第二个解决方案是用平方乘算法+蒙哥马利算法解决GPU做模幂运算代价大的问题。...其核心是如何高效计算模幂运算ab mod c ,其中a,b,c均为N比特大整数。 对于这个问题,最容易想到的朴素算法是先计算ab的值,然后将计算结果对c取模。...缺点是需要做2N次取模运算,对GPU来说,做取模运算的时间代价很高。 为了解决这个问题,我们引入了蒙哥马利模乘算法来高效完成第3步中的模乘计算。
使用 FuturesUnordered 处理多个 Future 在本文中,我们将探讨一个强大而高效的类型 futures::stream::FuturesUnordered,它可以同时处理多个异步任务并以非阻塞的方式轮询多个任务...futuresunordered-an-efficient-way-to-manage-multiple-futures-in-rust-a24520abc3f6 QuickDiv 基于libdivide 的快速除法和取模...QuickDiv 是一个Rust包,基于libdivide C/C++库,允许您通过相同的除数加速重复的除法和取模运算。...在大多数硬件上,整数除法操作的执行时间比乘法和加法等操作要长。因此编译器通常通过将除以常数的操作替换为更快速的移位、乘法和加法序列来进行优化。...本软件包允许您应用类似的算法来优化在运行时才能确定的值的除法操作。
众所周知,幂运算由若干乘法组成,而模幂运算 ? ,可以由大名鼎鼎的快速幂算法拆解为若干少量的模乘运算 ? 。 那么是否存在一种算法,无需单独取模,就可以实现模乘运算呢?...答案是肯定的,这个算法就是蒙哥马利模乘算法。 ? 图一:蒙哥马利模乘算法。...图四:Karatsuba 快速乘法。 在处理单元的设计中,同时采用了 Karatsuba 算法,如图四所示。...根据乘法运算的原理,容易看出,乘法运算操作数的位宽减半,则总计算时间将减少至原先的四分之一左右。Karatsuba 算法将整数乘法拆分为了三个位宽仅为原来一半的整数乘法,从而节省了计算时间。...根据该算法的原理,可以相应地使用 DSP 资源例化出所需的乘法器。 在 RAM 的使用方面,不难注意到,用于加密的输入数据大多是由浮点数编码而成的,与大整数位宽相比,其有效数字很少。
10 亿位超级大整数相乘仅需 30 秒,半个世纪的猜测终被证明》一文中所报道的,1960年,一位名叫阿纳托利·卡拉苏巴(Anatoly Karatsuba)的数学家发现了一种更快乘法方法。...对于涉及大数的乘法, Karatsuba的方法比小学法的步骤要少得多。...针对各种输入尺寸的Karatsuba乘法和教科书乘法的Q#implementation所使用的Toffoli gate和量子位数的双对数坐标图 值得注意的是,在作者的实现中,Karatsuba乘法比教科书乘法更高效的交叉点...(约10000位)比现代RSA密钥的大小(2048到8192位)更大,这表明Shor算法在实践中应该更倾向于使用简单的乘法。...此外,作者分析的情况(两个量子整数的乘法)不同于Shor算法中的情况(一个量子整数与一个经典整数的受控模乘法)。因此,对于Karatsuba乘法在Shor算法中的实际应用,作者并没有得出任何结论。
通过操作标准计算机中提供的中间运算符,可以产生很多的高效函数。这些函数导致了计算机程序的复杂性和多样性,这也是今天计算机时代快速发展的重要原因。...同时,这种算法由于它在C语言标准库中的函数名“qsort”而得名。 数学方法 Karatsuba快速相乘算法 ? 这种算法用来更快完成相乘的数学操作。...它减少了乘法中需要操作的数字,并且提供了一个快速的相乘计算方法。这种算法的改进算法是Toom–Cook算法。然而,对于大数相乘,Schönhage–Strassen 算法则是一种更快速的解决方案。...算法用到的操作非常简单,整数的加法,减法和移位操作。这在计算机图形学中是非常先进的方法。基于这样的方法,后来算法又有了一系列的拓展,比如:画圆算法等。...由于这种算法的高效、快捷,至今在很多硬件中(比如绘图仪和现代图形卡等)这种算法仍然十分重要并且仍在使用。. 平方根倒数速算法 这种算法提供了一种快速计算平方根的倒数的方法。
在过去,很多巧妙的计算机算法设计,改变了我们的计算技术。通过操作标准计算机中提供的中间运算符,可以产生很多的高效函数。...这些函数导致了计算机程序的复杂性和多样性,这也是今天计算机时代快速发展的重要原因。如下所示,我们列举了一些算法,它们改变了我们的计算机使用。 压缩技术 哈弗曼编码 ?...同时,这种算法由于它在C语言标准库中的函数名“qsort”而得名。 数学方法 Karatsuba快速相乘算法 ? 这种算法用来更快完成相乘的数学操作。...它减少了乘法中需要操作的数字,并且提供了一个快速的相乘计算方法。这种算法的改进算法是Toom–Cook算法。然而,对于大数相乘,Schönhage–Strassen 算法则是一种更快速的解决方案。...由于这种算法的高效、快捷,至今在很多硬件中(比如绘图仪和现代图形卡等)这种算法仍然十分重要并且仍在使用。 平方根倒数速算法 这种算法提供了一种快速计算平方根的倒数的方法。
以上优化算法使用了模运算的运算法则: ?...这种算法称为加法链(addition chaining),或二进制平方和乘法方法,算法的C语言描述: 利用该算法可以有效避免因为幂运算产生大数而使得后续模运算无法进行的问题。 ? ?...”中向大家展示如何在不使用除法的情况下实现快速乘模计算,下面便以此种算法介绍高效幂模算法的实现。...首先考虑最初的我们进行模运算的基本方法,通常最容易回想起的就是使用除法然后得到余数就是我们要取的模(此处只考虑正整数运算),即: ?...,这里包含了三个除法指令,再考虑使用扩展欧几里得算法计算一些运算中需要使用的变量,可以看出在此算法中除法指令为有限常数,在Montgomery域的循环计算中不包含任何除法指令,因此该算法比普通的加法链操作更加高效
哈佛大学和 MIT 研究者联合进行的一项研究创下了矩阵相乘的最快纪录。 矩阵乘法作为一种基本的数学运算,在计算机科学领域有着非常广泛的应用,矩阵乘法的快速算法对科学计算有着极为重要的意义。...自 1969 年 Strassen 算法开始,人们意识到了快速算法的存在,开始了长达数十年的探索研究。 当你拥有两个大小一致的矩阵时,则可以将它们相乘得到第三个矩阵。...在计算它们的乘积时,需要使用矩阵 A 的对应行和矩阵 B 的对应列。具体运算方法如下图所示: ?...通常,两个 n x n 矩阵相乘,一共需要 n^3 次乘法运算。 ? 随着矩阵的增大,矩阵乘法所需的乘法运算数量比加法运算涨得快得多。通常,研究人员仅根据所需的乘法次数来度量矩阵乘法的运算速度。...1981 年,Arnold Schönhage 利用这种方法证明了矩阵乘法的计算复杂度可以降低至 O(n^2.522),Strassen 后来将此方法称为 laser 方法。
给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m) 例1:4 ≡ 9 (mod 5),即4和9对模5同余 例...2:13 ≡ 23(mod 10),即13和23对模10同余 2 模的加减乘除运算 取模运算的等价变形适合加法、减法、乘法 (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (a -...a%p) (c%p) % p,这样的话,除法运算就可以转化为乘法运算。...4 快速幂 这部分的内容可以参考 小朋友学算法(6):求幂pow函数的四种实现方式 中的第四种方法 (二)逆元 + 快速幂求组合思路 现在目标是求C(n, m) %p,p为素数(经典p=1e9+7)。...,但由于取模的性质对于除法不适用,则有 ? 1.png 所以需要利用逆元把“除法”转换成“乘法”,才能借助取模的性质计算组合数。
再继续证明欧几里得算法第二个公式之前,先来看一下求模运算的一些运算规则[15]: (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (a - b) % p = (a % p - b %...首先我们可以把问题分解一下,如果能找到3个整数 ,分别满足: 那么 就是解,因为根据取模运算法则: 然后接着接续分解问题,如果能找到3个整数 ,分别满足: 那么令...即可求得解 因为根据取模运算法则有: 然后来看下怎么求解 。...可以看到比原来的6次乘法和2次加法,少两次乘法,但是加法次数变多了。...[14] 我終於頓悟輾轉相除法求最大公約數的原理了 [15] 取模运算涉及的算法 [16] 多项式除法竖式应当如何理解?
从那时直到现在,RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说,只要有计算机网络的地方,就有RSA算法。 这种算法非常可靠,密钥越长,它就越难破解。...换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。 假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。...八、快速幂模算法 在讲解快速幂取模算法之前,我们先将几个必备的知识 1.对于取模运算: (a*b)%c=(a%c)*(b%c)%c 这个是成立的:也是我们实现快速幂的基础 核心思想在于: 将大数的幂运算拆解成了相对应的乘法运算...算法实现: # 快速幂模运算,把b拆分为二进制,遍历b的二进制,当二进制位为0时不计入计算 def quick_pow_mod(a, b, c): a = a % c ans = 1...十、扩展欧几里德算法 e取65537,故list[0] * s + list[1] * e = 1,list[1]为(e)mod(s)的乘法逆元,也就是e对于φ(n)的模反元素d,此方程必有解。
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