在曲线的起始点和结束点计算曲率的数值，尖锐的不正确的跳跃？ - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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独家 | 如何解决深度学习泛化理论

深度学习的悖论深度学习的一个“显而易见的悖论”是：尽管在实际问题中它具有大容量、数值不稳定、尖锐极小解（SharpMinima）和非鲁棒性等特点，它在实践中可以很好地推广。...从更严格的意义上，泛化间隙可以被定义为在给定学习算法A的数据集SM上的函数F的不可计算的预期风险和可计算的经验风险之间的差：本质上，如果我们将泛化间隙的上界设定成一个小的数值，它将保证深度学习算法f在实际中很好地泛化...这一数值可以用来解释为什么深度学习可以泛化得如此好，尽管可能带来不稳定、非鲁棒性和尖锐利极小解（Sharp Minima）。还有一个悬而未决的问题是：为什么我们能够找到导致低验证错误的体系结构和参数。...他们进一步证明了非凸函数(如深度神经网络)中SGD泛化间隙的平均数据上界的数据相关性：其中m是训练集的大小，T是训练步长，γ表征了初始点的曲率对稳定性的影响。从中至少可以得出两个结论。...首先，目标函数在初始化点附近的曲率对目标函数的初值有着至关重要的影响。从一个低风险的曲率较小的区域中的一个点开始，能产生更高的稳定性，即更快地泛化。

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深度学习优化入门：Momentum、RMSProp 和 Adam

虽然局部极小值和鞍点会阻碍我们的训练，但病态曲率会减慢训练的速度，以至于从事机器学习的人可能会认为搜索已经收敛到一个次优的极小值。让我们深入了解什么是病态曲率。病态曲率考虑以下损失曲线图。...梯度下降沿着峡谷的山脊反弹，向最小的方向移动的速度非常慢。这是因为山脊的曲线在 W1 方向上弯曲的更陡。考虑山脊表面的 A 点。...我所说的权值组合，如下所示。 ? Hessian 矩阵在一个大矩阵中计算所有这些梯度。 ? Hessian 矩阵给出了一个点的损失曲面曲率的估计。...然后将当前的梯度平方乘（1-nu）。最后我们将他们加到一起得到这一时刻的指数平均。我们之所以使用指数平均是因为在 momentum 例子中看到的那样，它可以使得间隔和权重成正比例变化。...但是用带 Momentum 的 SGD 算法比 Adam 算法找到的极小值更加平坦，而自适应方法往往会收敛到更加尖锐的极小值点。平坦的极小值通常好于尖锐的极小值。 ?

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深度学习优化入门：Momentum、RMSProp 和 Adam

让我们深入了解什么是病态曲率。病态曲率考虑以下损失曲线图。 **病态曲率** 如你所知，我们在进入一个以蓝色为标志的像沟一样的区域之前是随机的。...这是因为山脊的曲线在 W1 方向上弯曲的更陡。考虑山脊表面的 A 点。我们看到，梯度在这点可以分解为两个分量，一个沿着 W1 方向，另外一个沿着 W2 方向。...我所说的权值组合，如下所示。 Hessian 矩阵在一个大矩阵中计算所有这些梯度。 Hessian 矩阵给出了一个点的损失曲面曲率的估计。...然后将当前的梯度平方乘（1-nu）。最后我们将他们加到一起得到这一时刻的指数平均。我们之所以使用指数平均是因为在 momentum 例子中看到的那样，它可以使得间隔和权重成正比例变化。...但是用带 Momentum 的 SGD 算法比 Adam 算法找到的极小值更加平坦，而自适应方法往往会收敛到更加尖锐的极小值点。平坦的极小值通常好于尖锐的极小值。

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计算机视觉中的曲率尺度空间技术

国际上有关尺度空间技术的研究大致分为如下两个分支: 线性尺度空间技术　　其实现途径是将一维信号（如曲线的曲率函数）或二维信号（如图象）与高斯函数作卷积运算。...由此构造了一款典型的非线性尺度空间技术。作为尺度空间技术的重要特例，曲率尺度空间技术以二维物体或三维物体的二维视觉为研究对象，以曲率特征点为工具对物体的形状进行描述和分析。...哪个角更尖锐？图1中给出了三组角（注：图 1(c)-1(e)为同一组角的不同显示）。需要我们判断在每组角中哪个角更为尖锐。图1(a)中，显然右边的角更尖锐，这是因为同左边的角相比其角度值较小。...图2(a)呈现了一片雪花的形状轮廓，要求我们找出该形状上的角点。在很多计算机视觉任务中，角点都有着重要的作用。数学上，角点一般是指大曲率点或曲率无穷大点。...在图2(b)中，雪花形状上所有曲率无穷大点都被确认为角点，一共有192个，如圆圈所标记。

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D11-Android自定义控件之动画篇3-插值器与估值器

零、前言估值器和插值器丰富了动画更新时的效果为方便本案例演示使用了我的LogicCanvas绘图库--github地址，当然你也可以自己绘制估值器：TypeEvaluator :该以什么方式运动...(x, y); } } 由此可以看出：不同的移动曲线只是在x坐标变化是对y坐标的不同处理。...//从0到PI/2均匀变化的值 float rad = Logic.rad(90 * input); //返回这个弧度的sin值--sin曲线在0~PI...{ return (float) (Math.log10(1 + 10 * input)); } } 要加速效果将返回值改为1-XXX就行了插值器从表现上来看就是某个函数值域在...0~1上的图象曲率变化的速率作用与View的某个属性上 ---- 三、插播一个路径动画吧：使用sin型减速 ?

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three.js 几何体（二）

这两种曲线的不同之处在于指定曲线曲率的方法不一样，如下图所示：对于二次曲线，除了指定结束点（x, y）外，还需要额外指定一个点（cpx, cpy）来控制曲线的曲率（不用指定起始点，因为路径的当前位置就是起始点...）；对于三次曲线，除了指定结束点（x, y）外，还需要额外指定两个点（cpx1, cpy1, cpx2, cpy2）来控制曲线的曲率。...，一般都会搭配FontLoader()或者Font()一起使用。...PolyhedronGeometry多面几何体 image.png 这个几何体其实和Geometry非常相似，通过传递点和面的数组构建几何体，不过他还有两个参数，一个是半径，一个是细分数，简单的说半径越大几何体就越大...可以通过一系列点创建一条平滑的曲线。

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ICLR 2024| 用巧妙的「传送」技巧，让神经网络的训练更加高效

图 3 通过可视化的方式展示了一个梯度流 L (w) 和一条极小值上的曲线（γ），这两条曲线的曲率对应着极小值的锐度和曲率。此外，表中还显示了测试集上的损失与锐度或曲率之间的 Pearson 相关性。...当数据分布发生变化导致损失地形变化时，尖锐的极小值损失增加较大（如图 4 右侧所示）。在图 4 中，曲率较大的极小值与变化后的极小值距离更远（如图 4 左侧所示）。...图 5 为在 CIFAR-10 上 SGD 的训练曲线，其中在第 20 个 epoch 进行了一次传送。实线代表平均测试损失，虚线代表平均训练损失。图 5 传送到更平坦的点略微改善了验证损失。...通过传送改变曲率对泛化能力有更显著的影响。传送到曲率较大的点有助于找到具有较低验证损失的极小值，而传送到曲率较小的点则产生相反的效果。这表明至少在局部，曲率与泛化相关。...这种方法避免了在群流形上优化的计算成本，并改进了现有的仅限于局部更新的元学习方法。图 7 总结了训练算法。

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ICLR 2024 Oral｜用巧妙的「传送」技巧，让神经网络的训练更加高效

图 3 通过可视化的方式展示了一个梯度流 L (w) 和一条极小值上的曲线（γ），这两条曲线的曲率对应着极小值的锐度和曲率。此外，表中还显示了测试集上的损失与锐度或曲率之间的 Pearson 相关性。...当数据分布发生变化导致损失地形变化时，尖锐的极小值损失增加较大（如图 4 右侧所示）。在图 4 中，曲率较大的极小值与变化后的极小值距离更远（如图 4 左侧所示）。...图 5 为在 CIFAR-10 上 SGD 的训练曲线，其中在第 20 个 epoch 进行了一次传送。实线代表平均测试损失，虚线代表平均训练损失。图 5 传送到更平坦的点略微改善了验证损失。...通过传送改变曲率对泛化能力有更显著的影响。传送到曲率较大的点有助于找到具有较低验证损失的极小值，而传送到曲率较小的点则产生相反的效果。这表明至少在局部，曲率与泛化相关。...这种方法避免了在群流形上优化的计算成本，并改进了现有的仅限于局部更新的元学习方法。图 7 总结了训练算法。

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为什么小批量会可以使模型获得更大的泛化

他们“提供了支持大批量方法趋向于收敛到训练和测试函数的sharp minima（尖锐的最小值）的观点的数值证据——众所周知，sharp minima会导致较差的泛化。...而这种尖锐的损失将降低网络的泛化能力。较小的批量创建更平坦的损失图像。这是由于梯度估计中的噪声造成的。作者在论文中强调了这一点，声明如下：我们现在将查看他们提供的证据。...作者也提到了这一点，所以他们使用更简单的启发式方法：通过相邻点来进行锐度的检查，该函数的最大值就可以用于灵敏度的计算。...用作者的话来说，“对于在初始点附近的较大的损失函数值，小批次和大批次方法产生相似的锐度值。...这不是我们在实验中观察到的。F2和C1网络的训练-测试曲线见图2，它们是其他网络的代表。因此，旨在防止模型过拟合的早停的启发式方法并不能够缩小泛化差距。”

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深度学习优化入门：Momentum、RMSProp 和 Adam

虽然局部极小值和鞍点会阻碍我们的训练，但病态曲率会减慢训练的速度，以至于从事机器学习的人可能会认为搜索已经收敛到一个次优的极小值。让我们深入了解什么是病态曲率。病态曲率考虑以下损失曲线图。...梯度下降沿着峡谷的山脊反弹，向最小的方向移动的速度非常慢。这是因为山脊的曲线在 W1 方向上弯曲的更陡。考虑山脊表面的 A 点。...我所说的权值组合，如下所示。 ? Hessian 矩阵在一个大矩阵中计算所有这些梯度。 ? Hessian 矩阵给出了一个点的损失曲面曲率的估计。...然后将当前的梯度平方乘（1-nu）。最后我们将他们加到一起得到这一时刻的指数平均。我们之所以使用指数平均是因为在 momentum 例子中看到的那样，它可以使得间隔和权重成正比例变化。...但是用带 Momentum 的 SGD 算法比 Adam 算法找到的极小值更加平坦，而自适应方法往往会收敛到更加尖锐的极小值点。平坦的极小值通常好于尖锐的极小值。 ?

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逻辑回归

然而，海维塞得阶跃函数的问题在于: 该函数在跳跃点上从 0 瞬间跳跃到 1，这个瞬间跳跃过程有时很难处理。...下图给出了 Sigmoid 函数在不同坐标尺度下的两条曲线图。当 x 为 0 时，Sigmoid 函数值为 0.5 。...从 P0 开始，计算完该点的梯度，函数就根据梯度移动到下一点 P1。在 P1 点，梯度再次被重新计算，并沿着新的梯度方向移动到 P2 。如此循环迭代，直到满足停止条件。...可能梯度下降的最终点并非是全局最小点，可能是一个局部最小点，如我们上图中的右边的梯度下降曲线，描述的是最终到达一个局部最小点，这是我们重新选择了一个初始点得到的。...Logistic 回归算法特点优点: 计算代价不高，易于理解和实现。缺点: 容易欠拟合，分类精度可能不高。适用数据类型: 数值型和标称型数据。

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深度学习优化入门：Momentum、RMSProp 和 Adam

虽然局部极小值和鞍点会阻碍我们的训练，但病态曲率会减慢训练的速度，以至于从事机器学习的人可能会认为搜索已经收敛到一个次优的极小值。让我们深入了解什么是病态曲率。「病态曲率」考虑以下损失曲线图。...这是因为山脊的曲线在 W1 方向上弯曲的更陡。考虑山脊表面的 A 点。我们看到，梯度在这点可以分解为两个分量，一个沿着 W1 方向，另外一个沿着 W2 方向。...它只能说明损失是否下降以及下降的速度，而不能区分曲线是平坦的，向上的，还是向下的。之所以会发生这种现象，是因为梯度下降只关心梯度，就好像上图中红色的点，三个曲线在这一点上的梯度是相同的。如何解决？...算法将 Momentum 和 RMSProp 两种算法结合了起来。这里是迭代方程。我们计算了每个梯度分量的指数平均和梯度平方指数平均（方程 1、方程 2）。...但是用带 Momentum 的 SGD 算法比 Adam 算法找到的极小值更加平坦，而自适应方法往往会收敛到更加尖锐的极小值点。平坦的极小值通常好于尖锐的极小值。

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定积分在曲线长度中的基本概念

很多图都是马同学的，我买了课就拿来一用了~ 下面是之前学的关于数学的文章：矩阵乘法观点-几何含义二阶导数标记问题定积分-黎曼和的极限统计学-随机变量蒙特卡洛计算PI（距离公式）+蒙特卡洛计算定积分...雷曼和：定积分就是黎曼和的极限可积的充分条件：这里补充什么样的原函数可以求积分这样的就是最简单的可积，联系这里是有，有限个间断点，而且是可去，去了对面积没有影响有两个跳跃点也是可以的这样的点就是跳跃点...，左右极限都有，但是不一样，第一类点顺手引出了左右极限，就是在一个数字的左右做文章，其实最巧妙的就是0处，注意看图的箭头，我们一般说，在一个点的左边（位置），右连续，另外一面对称。...使用弧长来推导⚪的曲率，也就是说曲率可以通过一维曲率公式（即弧长除以弧长上的距离）计算。...曲率的核心概念包括：正曲率（Positive Curvature）：曲线或曲面弯曲方向与正向相同的曲率。负曲率（Negative Curvature）：曲线或曲面弯曲方向与正向相反的曲率。

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VREP学习笔记-Paths

每个控制点都有一些属性，可以更详细地描述其附近的路径:每个控制点都可以描述是否应该计算Bezier曲线，以及如何计算Bezier曲线。下面举例说明这个属性: ?...Bezier曲线切片由3个参数描述，如下图所示: ? 贝塞尔插值因子指示贝塞尔曲线的起始点和结束点，贝塞尔点计数指示曲线的细节(或平滑)程度。...1的Bezier点计数在技术上禁用Bezier曲线插值机制，但为了简单起见，控制点随后被称为Bezier点。在路径编辑模式下，可以手动调整控制点的位置和方向。然而，贝塞尔点方向不能单独调整。...它是相当自动计算的。默认情况下，Bezier点的方向会跟随路径曲率(如果启用了自动方向选项)，否则它们会被控制点的方向插值，如下图所示: ?...在下面的例子中，在3个重合点处的虚拟距离为2(1在第一个重合控制点和中间的重合控制点之间，1在中间和第三个重合控制点之间)。

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债券收益率曲线构建

NS 模型中有四个参数，每个都有自身的经济含义，而且不同参数值能描述不同情境下的利率曲线的变动情况。...β2 的因子载荷先增后减，从 0 增到 1 再减到 0，这表明 β2 对利率曲线的短端和长端影响较弱，对中端的影响较大，因此 β2 控制曲线曲率（curvature）。...τ 是 β1 和 β2 的因子载荷的衰减速度，该值越大衰减越快。用 NS 模型可以模拟利率曲线的最基本的三种形式：平移、斜率和曲率，足够了。...我在实际操作中没有发现它显著强于 NS 模型，而且在拟合 10 几年的债券收益率曲线时，Svensson 模型更容易发生参数跳跃的情形，这不是我们希望看到的结果。因此我偏向于用 NS 模型。...3 代码展示引入所有需要的包： ---- NS 模型下的核心函数（计算瞬时远期利率、即期利率、折现因子、离散远期利率）： ---- 读取数据，将债券发行日和到期日用 pd.to_datetime()

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LOAM论文和程序代码的解读

左图为平面点云的例子，其中有的点在直线上有的位于边角上，我们计算各点处的曲率。为了直观地展示曲率的大小，我用直线表示在各个点上，直线高度与曲率c cc成正比，如右图所示。...越尖锐的点曲率越大，在直线上的点曲率则是0。第二个例子是由光滑的曲线轮廓生成的点云，如下图所示，这时计算的曲率如右图所示，同样是曲率越大的地方直线越高。这两个例子证明我们对上面公式的理解是正确的。...下面我用实际的激光点云数据来展示特征点提取的效果。下图中的绿色点是velodyne 16线激光雷达的原始点云，扫描环境是笔者的卧室，大概就是一个长方体，能够看到点云在垂直方向大致分成了16条线。...作者在论文中声称采用了LM方法，但是在程序中却使用了高斯牛顿法。不管用哪种方法，都需要计算目标函数的雅克比矩阵，这个是最繁琐的一步。雅克比矩阵由一阶导数构成，求导数可以采用数值法，也可以用解析法。...建图的过程就是不断地把匹配好的点云堆积在一起的过程，其中的思路与状态估计有些类似，但是有很多地方不一样。特征点的定义和使用与前面状态估计的一样，但是数量更多了，多了10倍。

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使用LCamHdl库动态生成凸轮曲线

1 使用LCamHdl库动态生成凸轮曲线通过前面两个文档的学习，我们了解了凸轮工艺对象的数据结构，以及如何通过编程设置点及线段的方法动态生成凸轮曲线。...下载完库文件后，在博途中打开库：图2-1打开全局库打开全局库后，可以看到以下功能块：图2-2库中的功能块其中LCamHdl_CreateCamBasedOnXYPoints和LCamHdl_CreateCamBasic...我们可以定义主轴起始点（leadingValueStart）、结束点（leadingValueEnd），从轴的起始点、结束点，曲线起始点速度即斜率（geoVeloStart）、结束点速度即斜率（geoVeloEnd...），起始、结束点加速度即曲率，起始、结束点加加速等参数。...第一条线段的斜率为50/100=0.5，所以我们把第二条曲线起始点的斜率设置为0.5：图3-8 调整曲线参数调整后生成的曲线为：图3-9 调整后的曲线调整后的曲线连接点上斜率一致，看起来很光滑

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如何在WPF绘图中（通过贝塞尔曲线）绘制平滑曲线

移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。 ? 上图显示了这四个点是如何决定曲线形状的。...曲线从起始点（A）开始，向第一个控制点（B）的方向移动。它在终点（D）结束，从第二个控制点（C）的方向来。图中的蓝色线显示了端点和控制点之间的方向。...从起点和终点到控制点的距离决定了曲线与蓝色线的距离。如果控制点较远，则曲线沿蓝色线较长。要绘制一条连接一系列点的平滑曲线，可以构建多个从这些点开始和结束的贝塞尔曲线。...那么如何定义控制点呢?看看右边的图片，它显示了三条连接点A、B、C和D的贝塞尔曲线。现在关注蓝色曲线。它需要两个控制点，一个在B点之后，一个在C点之前。...要找到蓝色曲线在点C附近的控制点，您可以类似地查看点B和D之间的部分。建立这一系列曲线有两种特殊情况。起始点和结束点两边都没有邻居，所以它们被用来代替它们缺少的邻居。

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关于尺度空间的理解和认识_尺度空间理论

在图1(e)中，观察窗口的大小变更为6*8。在这个较小的尺度下，问题的答案发生了有趣的变化：此时右边的角更加尖锐。...图2(a)呈现了一片雪花的形状轮廓，要求我们找出该形状上的角点。在很多计算机视觉任务中，角点都有着重要的作用。数学上，角点一般是指大曲率点或曲率无穷大点。...在图2(b)中，雪花形状上所有曲率无穷大点都被确认为角点，一共有192个，如圆圈所标记。...概括地说，“尺度空间”的概念就是在多个尺度下观察目标，然后加以综合的分析和理解。...最后贴点数学公式吧，不然不完美：线性尺度空间技术：其实现途径是将一维信号（如曲线的曲率函数）或二维信号（如图象）与高斯函数 g(x,t)=1/(sqrt(t*pi))*exp(-x^2/(4t

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【SVG】Path 路径用法详解

用法控制点描述的是曲线起始点的斜率，曲线上各个点的斜率，是从起点斜率到终点斜率的渐变过程 C = curveto(C X1,Y1,X2,Y2,ENDX,ENDY) 画三次贝赛曲线，具体用法如下： C...x1,y1 x2,y2 x,y (x,y)表示的是曲线的终点，(x1,y1)是起点的控制点，(x2,y2)是终点的控制点。...c dx1,dxy dx2,dy2 dx,dy dx1、dy1和dx2、dy2都是相对于初始点，而不是相对于结束点的。dx和dy分别是向右和向下的距离 1.5.2....q dx1,dxy dx,dy dx1、dy1是相对于初始点的距离。dx和dy分别是向右和向下的距离 1.5.2. 示例将画笔移动到绝对位置后，并绘制三次贝赛曲线 1.7....用法 S = smooth curveto(S X1,Y1,ENDX,ENDY) 画平滑曲率，具体用法如下： S x1,y1 x,y (x1,y1)是中间点，(x,y)是终点。

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