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同时学习流形及流形分布的Injective Flows

然而，真实数据通常只在较低维的流形上得到支持，导致模型在模拟噪声上消耗大量计算资源。注入流（Injective Flows）通过联合学习流形及其上的分布来解决这个问题。...由于流形假设（Bengio et al., 2013），该假设认为真实数据位于高维数据空间中的低维流形上，因此只在低维流形上建模分布并将流形外的偏差视为无信息的噪声更为高效。...2 相关工作注入流联合学习一个流形并在该流形上最大化似然。后者需要估计变换的雅可比行列式来计算变量变化。...模型流形与数据流形不对齐而是与其相交。例如，Brehmer和Cranmer（2020）讨论了一个线性模型学习将数据分布投影到流形上的单个点的情况，从而将其熵减少到无穷大，这是最低可能的值。...与表1相比，我们发现使用在流形外部编码器雅可比矩阵来估计负对数似然是自由形式架构性能良好的关键，因为在流形内部变体会发散（见第4.2节）。

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什么是流形？

这篇文章将讨论流形。流形是一种形状，在物理学中因其“友好”的特性而被反复使用。也就是说，它们允许我们在其任何地方定义一组坐标。此外，流形可以在其表面编码有用的信息。...流形的使用在现代物理学中无处不在。广义相对论这样的几何密集型学科更是以深入研究流形为基础，粒子物理学中也经常出现流形的身影。但是，首先，我们要谈的是最直接的形状——开放空间。...什么是流形？上面的问题把我们带到了流形的话题。流形是一种几何形状，在局部，它看起来像一维、二维、三维或任何维度的 "开放空间"。局部这个词与全局相对，后者意味着 "作为一个整体来看"。...这就是为什么流形对我们如此重要。在流形上的任何一点都有一个平滑的坐标系，我们就可以定义曲线和函数等对象。例如，流形上的函数就像一个'热图'。...我希望这篇文章能很好地介绍什么是流形，以及流形在现代物理学中的应用。

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流形学习概述

非线性降维算法的典型代表有核PCA（KPCA，核主成分分析），神经网络（如自动编码器），流形学习等。在本文中我们重点介绍流形学习算法。什么是流形？...下图是三维空间中的一个流形，这是一个卷曲面： ? 2维空间中的曲线，3维空间中的曲线可以看做是2维和3维空间中的1维流形，因为曲线是1维的。而3维空间中的曲面可以看做是2维的流形，因为曲面是2维的。...n维空间中的m维流形就是具有m维几何形状的一个子集，在这里，m小于n。在一般的流形学习算法中，我们并没有过多的用到微分几何，拓扑等复杂的数学理论，因此在本文中我们不对流形的数学理论做过多的阐述。...什么是流形学习？很多应用问题的数据在高维空间中的分布具有某种几何形状，即集中在某个低维的流形附近。...除此之外，流形学习还可以用实现聚类，分类以及回归算法。假设有一个N维空间中的流形M，即M为N维欧氏空间的一个真子集： ? 流形学习降维算法要实现的是如下映射： ? 其中n<<N。

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流形学习基础

本篇是引言部分，后续章节主要介绍一下流形学习的概念和分类，争取下次在本篇基础上介绍一下流形学习的实践。...而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的球面是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的最自然的舞台。...这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些"普通"的欧氏空间Rn。...这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。...所以如果你想学好流形学习里的方法，你至少要了解一些微分流形和黎曼几何以及拓扑学的基本知识。

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流形学习概述

非线性降维算法的典型代表有核PCA（KPCA，核主成分分析），神经网络（如自动编码器），流形学习等。在本文中我们重点介绍流形学习算法。什么是流形？...下图是三维空间中的一个流形，这是一个卷曲面： 2维空间中的曲线，3维空间中的曲线可以看做是2维和3维空间中的1维流形，因为曲线是1维的。而3维空间中的曲面可以看做是2维的流形，因为曲面是2维的。...n维空间中的m维流形就是具有m维几何形状的一个子集，在这里，m小于n。在一般的流形学习算法中，我们并没有过多的用到微分几何，拓扑等复杂的数学理论，因此在本文中我们不对流形的数学理论做过多的阐述。...什么是流形学习？很多应用问题的数据在高维空间中的分布具有某种几何形状，即集中在某个低维的流形附近。...除此之外，流形学习还可以用实现聚类，分类以及回归算法。假设有一个N维空间中的流形M，即M为N维欧氏空间的一个真子集：流形学习降维算法要实现的是如下映射：其中n<<N。

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流形学习方法概述

一般来讲，流形学习在目前来说的用途上可以作为数据降维、迁移学习等过程的一种比较好的方法，它借鉴了拓扑流形的概念，同时也是在机器学习/深度学习领域是较火且实用的一种数据预处理思想。...所谓流形，其实是高维空间中的几何结构，即空间中的点构成的集合，所以二维空间的流形是曲线，三维空间的流形是曲面(直线、平面是特殊的曲线和曲面) 在一般的流形学习算法中，并没有过多的用到微分几何，拓扑、微分流形等复杂的数学理论...如果有一个很低维度的流形嵌入到高维流形中(嵌入可以举例为在三维空间中的曲线或散点，分布的复杂性肯定比曲面复杂)，但是这些嵌入到高维流形中的局部部分都是可以度量的(比如散点间距离，异面直线距离等)，因此如果能容易地在局部建立降维映射关系...，然后推广到全局则是高维流形的一种思考方法。...测地线距离测地线距离可以看成是KNN和图论最短路径算法的结合，它首先基于的是高维流形在局部上和欧式空间是同胚的，然后对于高维流形中的每个散点基于欧式距离找出它在低维流形中的K个近邻点，然后不属于这K个近邻点集中的点就不和该散点存在连接

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流形学习的概念

那流形学习是什么呢？为了好懂，我尽可能应用少的数学概念来解释这个东西。所谓流形（manifold）就是一般的几何对象的总称。比如人，有中国人、美国人等等；流形就包括各种维数的曲线曲面等。...和一般的降维分析一样，流形学习把一组在高维空间中的数据在低维空间中重新表示。和以往方法不同的是，在流形学习中有一个假设，就是所处理的数据采样于一个潜在的流形上，或是说对于这组数据存在一个潜在的流形。...对于不同的方法，对于流形性质的要求各不相同，这也就产生了在流形假设下的各种不同性质的假设，比如在Laplacian Eigenmaps中要假设这个流形是紧致黎曼流形等。...对于描述流形上的点，我们要用坐标，而流形上本身是没有坐标的，所以为了表示流形上的点，必须把流形放入外围空间（ambient space）中，那末流形上的点就可以用外围空间的坐标来表示。...对于R^3中的球面来说，那么流形学习可以粗略的概括为给出R^3中的表示，在保持球面上点某些几何性质的条件下，找出找到一组对应的内蕴坐标（intrinsic coordinate）表示，显然这个表示应该是两维的

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流形学习的基本方法

自从2000年以后，流形学习被认为属于非线性降维的一个分支。...流形学习方法分为线性的和非线性的两种，线性的流形学习方法如我们熟知的主成份分析（PCA），非线性的流形学习方法如等距映射（Isomap）、拉普拉斯特征映射（Laplacian eigenmaps，LE）...他的理论框架就是MDS，但是放在流形的理论框架内，原始的距离换成了流形上的测地线（geodesic）距离。其它一模一样。所谓的测地线，就是流形上加速度为零的曲线，等同于欧式空间中的直线。...我们经常听到说测地线是流形上两点之间距离最短的线。其实这么说是不严谨的。流形上两点之间距离最短的线是测地线，但是反过来不一定对。...Weinberger把学习核矩阵引入到流形学习中来。他的这个方法在流形学习中影响到不是很显著，却是在 convex optimization 中人人得知。

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传染动力学的流形学习

我们在许多不同的真实世界和合成数据集上测试传染映射作为一种流形学习工具，并将其性能与最著名的流形学习算法之一Isomap进行比较。...我们发现，在一定条件下，在有噪声的数据中，传染病映射能够可靠地检测底层流形结构，而Isomap由于噪声引起的误差而失效。这巩固了传染病映射作为一种多方面学习的技术。

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CVPR 2023 | 由点到面：可泛化的流形对抗攻击，从个体对抗到流形对抗

因此，该研究致力于寻找高维空间中的对抗流形。综上，GMAA 是一种用对抗流形去攻击目标身份的状态集合的新攻击范式。文章的核心思想如图 1 所示。...在对抗流形上采样对抗样本，连续地改变 AU 值，就可以生成表情连续变化的对抗样本。...图 6 展示了不同方法的可视化结果对比，MAA 在对抗流形上采样了 20 个对抗样本，可以看到可视化效果更加的自然。...此外，论文定义了连续对抗流形和语义连续对抗流形的概念，并详细证明了生成的对抗流形与 AU 向量空间同胚。...此外，GMAA 将对抗域从离散点扩展到语义连续的对抗流形（“由点到面”）。该研究通过引入表情编辑的领域知识实例化了 GMAA 攻击范式。

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使用 Langevin 扩散对流形进行采样和估计

使用紧致黎曼流形上的不变测度 dμϕ∝e−ϕdvolg 对本质上定义的朗之万扩散进行离散化，得出采样和估计的误差界限。...讨论了将分析扩展到非紧流形情况的条件。正曲率和负曲率流形上的对数凹分布和其他分布的数值说明阐明了导出的边界并证明了采样算法的实用性。 https://arxiv.org/abs/2312.14882

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脑机接口中的流形嵌入知识迁移学习

研究人员提出一个新颖的流形嵌入知识迁移方法(MEKT), 该方法首先在黎曼流形中对齐EEG试验的协方差矩阵，提取切空间中的特征，然后通过最小化源之间的联合概率分布转变源和目标域,同时保留其几何结构。...为实现上述目标，研究人员提出了一种应用于脑机接口的流形嵌入知识迁移方法 (MEKT)，以解决针对脑机接口中迁移学习的三个重要问题：如何对数据预处理，使得不同用户的数据可以联合训练？...流形嵌入知识迁移方法的主要原理图如下：首先提出了一种中心对齐的方法，在黎曼流形上进行数据的预对齐。我们详细证明了该对齐方法的两个性质：减小分布差异和数据白化。然后将数据投影到切空间上。...首先将所有域在黎曼流形上对齐，然后映射到切空间上。A和B分别是源域和目标域的投影矩阵。下面为流形嵌入知识迁移方法的算法伪代码， ?

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深度学习的动机与挑战之-流形学习

流形是一个机器学习中很多想法内在的重要概念。流形 (manifold) 指连接在一起的区域。数学上,它是指一组点,且每个点都有其邻域。给定一个任意的点,其流形局部看起来像是欧几里得空间。...如图5.11所示,训练数据位于二维空间中的一维流形中。在机器学习中,我们允许流形的维数从一个点到另一个点有所变化。这经常发生于流形和自身相交的情况中。...形中的方向,或者感兴趣的变动只发生在我们从一个流形移动到另一个流形的时候。...例如,人脸图像的流形不太可能连接到猫脸图像的流形。这些支持流形假设的思维试验传递了一些支持它的直观理由。...当数据位于低维流形中时,使用流形中的坐标,而非 Rn 中的坐标表示机器学习数据更为自然。日常生活中,我们可以认为道路是嵌入在三维空间的一维流形。

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MAGIC||利用流形学习还原单细胞的基因表达

2018年7月26日，哥伦比亚大学Dana Pe'er教授在Cell上发表MAGIC(Markov affinity-based graph imputation of cells)，利用流形学习还原单细胞的基因表达...10.1016/j.cell.2018.05.061 代码：https://nbviewer.jupyter.org/github/KrishnaswamyLab/magic/blob/master/python

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“看不见”的图深度学习=流形学习 2.0？

受到计算图形学领域中进行 3D 点云分析的工作的启发，DGCNN 试图将图用作点云底层的局部平滑流形结构的一种粗糙的表征。...流形学习算法可以捕获数据集的这种低维的内在结构，并且在欧氏空间中表征它。...流形学习旨在通过底层的「流形」（严格地说，这里指的并不是微分几何意义上的术语「流形」，例如不同的点上的局部维度可能不同。然而，使用这种比喻较为方便。）...流形学习与 PCA 等线性降维方式的重要区别在于，由于数据的非欧结构，用线性投影的方式恢复出流形是不可能的： ? 图 4：线性降维（左图）vs 流形学习。...Joshua Tenenbaum 创造的「Swiss roll」曲面及其 1D 展开形式在流形学习论文中经常被用作示例。各种流形学习算法的不同之处在于它们恢复「流形」的方式，但它们的大致框架相同。

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PHP模拟浏览器上传文件(数据流形式上传)

用PHP上传文件基本都是临时存储，之后上传，怎么用PHP模拟浏览器以数据流形式上传文件思路及代码如下： //网址参数文件 function upload($url, $p, $file) {

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【Scikit-Learn 中文文档】流形学习 - 监督学习 - 用户指南 | ApacheCN

流形学习 Look for the bare necessities The simple bare necessities Forget about your worries and your strife...流形学习是一种减少非线性维度的方法。这个任务的算法基于许多数据集的维度只是人为导致的高。 2.2.1. 介绍高维数据集可能非常难以可视化。...流形可以被认为是将线性框架（如PCA）推广为对数据中的非线性结构敏感的尝试。虽然存在监督变量，但是典型的流形学习问题是无监督的：它从数据本身学习数据的高维结构，而不使用预定的分类。...以下概述了scikit学习中可用的流形学习实现 2.2.2. Isomap 流形学习的最早方法之一是 Isomap 算法，等距映射(Isometric Mapping)的缩写。

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《流形学习：破解人工智能复杂数据处理难题的利刃》

一、流形学习算法：探索数据的内在结构流形学习算法基于一个重要假设：高维数据在低维空间中存在着一种潜在的、连续且光滑的流形结构。...测地线距离可以理解为在数据分布的流形表面上，从一个点到另一个点的最短路径长度。在高维空间中，直接计算两点之间的欧氏距离可能无法准确反映它们在流形上的真实距离。...二、流形学习算法在复杂数据处理中的应用（一）图像数据处理在图像领域，流形学习算法能够帮助挖掘图像数据的内在特征。例如，在人脸识别中，人脸图像在高维空间中存在着复杂的非线性结构。...流形学习算法可以对这些复杂的传感器数据进行降维处理，提取出关键特征。...三、流形学习算法的挑战与展望尽管流形学习算法在复杂数据处理中取得了显著成果，但仍面临一些挑战。

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学界 | 谷歌大脑提出Adversarial Spheres：从简单流形探讨对抗性样本的来源

选自arXiv 机器之心编译参与：Nurhachu Null、蒋思源近日，Ian Goodfellow 等人提出对抗性同心高维球，他们利用数据流形的维度来研究输入维度的改变对神经网络泛化误差的影响...我们假设这种现象本质上是由数据流形的高维度造成的。为了着手研究这些假设，我们定义了一个简单的合成任务，来区分两个同心的（concentric）高维球。...这使得我们可以研究具有良好数学定义的数据流形中的对抗样本，我们还可以对模型学到的决策边界进行定性地描述。更重要的是，我们可以自然地改变数据流形的维度来研究输入维度的改变对神经网络泛化误差的影响。...数据流形用黑色标记，最大边界用红色标记。绿色的区域表示被 relu 网络归类为球内的数据点。在最后一张图中，即使模型的错误率低于十万分之一，但是球外数据点的映射还是被错误地分类了。 ?...我们假设这个反直觉的现象本身是由于输入数据流形的高维几何特征造成的。作为探索这个假设的第一步，我们研究了在一个简单的合成数据集上对两个高维同心球的分类。

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如何在黎曼流形上避开鞍点？本文带你了解优化背后的数学知识

这篇论文介绍了一种新方法，能够针对满足流形约束的目标函数识别并避开鞍点。设置该论文考虑在平滑流形 M 上最小化非凸平滑函数： ?...而这一点可以泛化至流形设置中。现在我们来看黎曼流形。黎曼流形具备黎曼度量。黎曼度量为我们提供了每个切空间上的标量积，可用于衡量流形上曲线的角度和长度。...它定义了距离函数，并自然而然地将流形转换为度量空间。假设读者了解曲率这一概念，我们来看黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）和黎曼流形的截面曲率。...符号该论文关注平滑的 d 维黎曼流形 (M,g)，该流形使用黎曼度量 g。点 x ∈ M 的切空间是 TxM。...测地线即球面或其他曲面或流形上两点之间的最短路线。指数映射类似于该示例中的投影算子。主要算法在黎曼流形上执行优化的主要算法如下所示： ?

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