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计算三次贝塞尔曲线的最快方法？

计算三次贝塞尔曲线的最快方法是使用De Casteljau算法。该算法通过递归地将曲线划分为更小的曲线段，并计算每个曲线段上的控制点，从而快速计算出曲线上的点坐标。

具体步骤如下：

定义三次贝塞尔曲线的四个控制点：P0、P1、P2、P3。
将曲线划分为两个曲线段，分别由控制点P0、P1、P2、P3计算得到。
对每个曲线段，计算两个新的控制点：Q0 = P0、Q1 = (P0 + P1) / 2、Q2 = (P1 + P2) / 2、Q3 = (P2 + P3) / 2。
重复步骤2和步骤3，直到达到递归终止条件（例如，曲线段长度小于某个阈值）。
最终得到的曲线上的点坐标即为计算结果。

三次贝塞尔曲线具有平滑的特性，常用于图形设计、动画制作、曲线拟合等领域。

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对于贝塞尔曲线而言，其特点在于第一个控制点恰好是曲线的起点，最后一个控制点是曲线的终点，其他控制点并不在曲线上，而是起到控制曲线形状的作用。...另外，曲线的起点处与前两个控制点构成的线段相切，而曲线的终点处与最后两个控制点构成的线段相切。...#透视投影变换 gluPerspective(45.0, width/height, 0.1, 100.0) glMatrixMode(GL_MODELVIEW) #计算三次贝塞尔曲线上指定参数对应的点坐标...GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT) glLoadIdentity() #平移 glTranslatef(-3.0, 0.0, -8.0) #指定三次贝塞尔曲线的...温馨提示：单击文章顶部作者名字旁边浅蓝色的“Python小屋”进入公众号，关注后可以查看更多内容！欢迎转发给您的朋友，或许这正是Ta需要的知识！

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贝塞尔曲线

贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥 (Paul de Casteljau) 于 1959 年运用德卡斯特里奥算法 (De Casteljau’s Algorithm) 开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线...t\right) P_1 + t^2 P_2, t \in \left[0, 1\right] 二次贝塞尔曲线生成过程如下图所示：三阶贝塞尔曲线，三次贝塞尔曲线定义为： B \left(t\...：测试曲线三阶贝塞尔曲线一般化的贝塞尔曲线 , n 阶贝塞尔曲线定义为： B \left(t\right) = \sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i} \left(1 - t...贝塞尔曲线的绘制通过前面的介绍，也就是说我们的贝塞尔曲线可以通过一堆控制点来画出，那么假如我们有如下三个控制点，我们怎么来画出一个贝塞尔曲线呢？...因此我们就可以使用de Casteljau算法来算曲线上任意一点的坐标，该算法是计算伯恩斯坦多项式的一种递归算法，直接方法相比较慢，但它在数值上更为稳定。

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贝塞尔曲线

贝塞尔曲线包含两个控制点即 n = 2 称为线性的贝塞尔曲线贝塞尔曲线包含三个控制点即 n = 3 称为二次贝塞尔曲线贝塞尔曲线包含四个控制点即 n = 4，所以称为三次贝塞尔曲线。...二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线具有三个控制点。二次贝塞尔曲线是点对点的两个线性贝塞尔曲线的线性插值。...为给出了三个点 P0、P1和 P2一条二次贝塞尔曲线，其实是两条线性的贝塞尔曲线，线性贝塞尔曲线的 P0和 P1和线性贝塞尔曲线P1和 P2....三次贝塞尔曲线三次方贝塞尔曲线具有四个控制点。二次贝塞尔曲线是点对点的两条二次贝塞尔曲线的线性插值。...对于给出的四个点 P0、P1、P2和 P3三次方贝塞尔曲线，是二次贝塞尔曲线P0、P1和 P2和二次贝塞尔曲线P1、P2和 P3 得到的线性插值 .所以，给出三次方贝塞尔曲线 B(t)=(1−

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【Android UI】贝塞尔曲线 ⑥ ( 贝塞尔曲线递归算法原理 | 贝塞尔曲线递归算法实现 )

( 起止点 + 0 个控制点 = 2 个点 ) 是一条直线 , 贝塞尔曲线上的点就是直线上的点 ; 二阶贝塞尔曲线 ( 起止点 + 1 个控制点 = 3 个点 ) 由 2 条一阶贝塞尔曲线...1 ; 递归算法的递归终点是取到第 0 阶 ; 二、贝塞尔曲线递归算法实现 ---- 递归算法中最终的一阶贝塞尔曲线上的点计算公式如下 : p(i, j) = (1-u) \times p (i...(j + 1).x 完整的贝塞尔曲线上的点坐标算法如下 : BezierX 方法用于计算贝塞尔曲线上的 X 轴坐标点 ; BezierY 方法用于计算贝塞尔曲线上的 Y 轴坐标点 ; //..., 本方法计算 X 轴坐标值 * @param i 贝塞尔曲线阶数 * @param j 贝塞尔曲线控制点 * @param u 比例 / 时间 , 取值范围 0.0 ~..., 本方法计算 Y 轴坐标值 * @param i 贝塞尔曲线阶数 * @param j 贝塞尔曲线控制点 * @param u 比例 / 时间 , 取值范围 0.0 ~

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silverlight:贝塞尔曲线

Silverlight并没有象flash那样直接提供画线、画圆、画曲线的方法，只能用Path来生成贝塞尔曲线。...= null) { seg.Point1 = ctlPoint1;//贝兹曲线的第一个控制点 seg.Point2...= ctlPoint2;//贝兹曲线的第二个控制点 } } void PageSizeChanged(object sender,...} } } 以上的代码，先在Canvas中放置了一段Path，然后在后台去动态修改贝塞尔曲线的控制点，并加入了与鼠标的一些简单交互。...更详细的原理也可参见我之前记录的Flash/Flex学习笔记(20)：贝塞尔曲线运行截图： ? ?

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贝塞尔曲线后续

有关贝塞尔曲线的定义以及公式已经写在了上一篇文章中,这篇文章主要介绍这个曲线的应用通过贝塞尔公式结算得到一个路径数组，结合dotween的DoPath做曲线动画 ?...Transform end; public float ef = 1; public int vertCount = 3; public int pointCount = 10; //曲线上点的个数...newP.Add(p0p1); } return BezierPoint(t, newP); } /// /// 获取存储贝塞尔曲线点的数组... /// 存储贝塞尔曲线点的数组 public static Vector3[] GetBeizerPointList(Vector3...path[i - 1] = pixel; } return path; } /// /// 获取存储贝塞尔曲线点的数组

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贝塞尔曲线原

其实它们都是贝赛尔曲线。如下 ?...看贝赛尔曲线就知道了，linear是匀速过渡，ease是先快再慢的节奏，ease-in是加速冲刺的节奏，ease-out是减速到停止的节奏，ease-in-out是先加速后减速的节奏。...现在动画的精度越来越高，如果预定义好的这些函数满足不了你的需求，可以通过cubic-bezier(n,n,n,n)自定义平滑曲线。...从上面的图形中观察到，贝塞尔曲线有4个点，左下为起始点P0坐标固定为(0,0)，右上为终点P3坐标固定为(1,1)，中间有两点P1和P2的坐标就是cubic-bezier(n,n,n,n)的参数。...通过4条连起来的直线，生成平滑的曲线。一图胜千言： ? ? ? ? 如果要凭脑子空写出贝赛尔函数的代码，可能比较困难。好在不用你自己去计算，可以到工具网站（如贝赛尔立方）上自动生成想要效果的代码。

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【Android UI】贝塞尔曲线 ③ ( 贝塞尔曲线关键点坐标记录 | 二阶贝塞尔曲线示例 )

文章目录一、贝塞尔曲线关键点坐标记录二、二阶贝塞尔曲线示例三、代码示例贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker 一、贝塞尔曲线关键点坐标记录...---- 贝塞尔曲线绘制时 , 使用 android.graphics.Path 记录贝塞尔曲线的 ① 起始点 , ② 终止点 , 以及 ③ 若干控制点 ; 一阶贝塞尔曲线有 0 个控制点..., 二阶贝塞尔曲线有 1 个控制点 , 三阶贝塞尔曲线有 2 个控制点 , ... , n 阶贝塞尔曲线有 n-1 个控制点 ; 二、二阶贝塞尔曲线示例 ---- 创建 android.graphics.Path...) { nMoveTo(mNativePath, x, y); } 然后调用 Path#quadTo 方法 , 设置二阶贝塞尔曲线的控制点和终止点 ; /**...终止点 path.quadTo(getWidth() / 2F, getHeight(), getWidth(), getHeight() / 2F); // 绘制贝塞尔曲线

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Python+Matplotlib绘制三次贝塞尔曲线

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三阶贝塞尔曲线_三阶贝塞尔曲线公式

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。目的：使用L-Edit绘制版图，其中有一段弯曲部分就是基于贝塞尔曲线画出来的。长这样↓ 使用语言：C语言写了两个版本。...贝塞尔曲线是个啥可参考这篇：点击打开链接简言之我们要画的三阶贝塞尔曲线就是通过四个点来拟合一条曲线。其中首尾二点在曲线上，中间两点只是确定方向用的，不在曲线上。...我遇到比较麻烦的问题是，我的已知条件只有四个点坐标，我需要“加粗”用这四个点画出的贝塞尔曲线，让它变成如图所示的两条平行贝塞尔曲线。...我开始的方法是：画出一条以后，y方向移动我需要的宽度，活生生移出一条曲线来。...贝塞尔函数参考程序：点击打开链接【以上程序属于七改八改加点小原创写出来的，如有不正确的地方欢迎指正。】版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。

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Android 贝塞尔曲线解析

动态过程可以参照下图(贝塞尔曲线相关的动态演示图片来自维基百科)。一阶曲线其实就是lineTo方法。二阶贝塞尔曲线在平面内任选 3 个不共线的点，依次用线段连接。...这样我们得到的是一条三次贝塞尔曲线。动态图如下: 三阶曲线对应的方法是cubicTo 要绘制更复杂的曲线，控制点的增加也仅仅是线性的。...因此我们对贝塞尔曲线的封装方法一般最高只到三阶曲线。...，即升高曲线阶数方法更加复杂，数据点不变，控制点增加，灵活性变强贝塞尔曲线实例一般使用贝塞尔曲线的情况如下：序号内容用例 1 事先不知道曲线状态，需要实时计算时方天气预报气温变化的平滑折线图...方法来使用贝塞尔曲线画出圆了。

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贝塞尔曲线开发的艺术

贝塞尔曲线应用圆滑绘图当在屏幕上绘制路径时，例如手写板，最基本的方法是通过Path.lineTo将各个触点连接起来，而这种方式在很多时候会发现，两个点的连接是非常生硬的，因为它毕竟是通过直线来连接的...计算用到了计算贝塞尔曲线上点的计算算法，这个会在后面继续讲解。...OK了，我们先写两个公式：微信放不下了，只能看原文了我们来将路径绘制到View中，看是否正确：文章太长，微信放不下了，只能看原文了这次我们并没有通过API提供的贝塞尔曲线绘制方法来绘制二阶、三阶贝塞尔曲线...，而是通过时间t和起始点来计算一条贝塞尔曲线上的所有点，可以发现，通过算法计算出来的点，与通过API所绘制出来的点，是完全吻合的。...贝塞尔曲线拟合计算贝塞尔曲线有一个非常常用的动画效果——MetaBall算法。相信很多开发者都见过类似的动画，例如QQ的小红点消除，UC浏览器的下拉刷新loading等等。

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定义摘自百科贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。...“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发明，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。...公式由于应用用到主要以二阶贝塞尔曲线为主,贴下二阶的公式: 二次方公式二次方贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）： ? 如何应用?...画一条二阶贝塞尔曲线需要3个点，两个数据点一个控制点，那么手势落下的点--起始点(x1,y1)与不断移动的手的触点是数据点，控制点需要自己创造，那线段的中点是最好计算的，假设第一个手滑动到的点（x2,y2...其实,用线段画基本上看是一个折线图，而贝塞尔函数画是一段段曲线 ? ? 当然，贝塞尔曲线的应用十分广泛，上面是简单的例子，后面将讲如何应用模拟翻页。

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python bezier(贝塞尔)曲线

文章目录三阶贝塞尔曲线 python bezier曲线首先简单了解一下什么是贝塞尔曲线（余弦函数曲线我就不多说了哈！），贝塞尔曲线又称贝兹曲线，是法国工程师皮埃尔.贝塞尔于1962年发表。...贝塞尔曲线广泛应用于二维绘图软件，早期用于汽车车体设计。三阶贝塞尔曲线三阶贝塞尔曲线由如下方程描述：其中t的范围是0到1的闭区间。...P0和P3是三阶贝塞尔曲线的起点和终点，P1和P2是曲线的控制点。然后我们讲一下计算机绘制曲线的原理。从数学定义上，一条连续函数曲线有无数个点，从算法的特点将，算法具有有穷性。...另一方面，计算机的屏幕像素是离散的，无法表示连续的曲线。于是引入一个概念，那就是微分思想。将曲线分为一个个小段，将曲线“化曲为直”。最后说明一下计算机屏幕的坐标系。...下面展示贝赛尔曲线函数代码： def tri_bezier(p1,p2,p3,p4,t): parm_1 = (1-t)**3 parm_2 = 3*(1-t)**2 * t parm

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如何理解并应用贝塞尔曲线贝塞尔曲线原理实际应用总结

贝塞尔曲线又叫贝兹曲线，在大学高数中一度让我非常头疼。前阵子练手写动画的时候，发现贝塞尔曲线可以应用于轨迹的绘制以及定义动画曲线。本文就来探究一下，贝塞尔曲线到底是个什么样的存在。...贝塞尔曲线原理贝塞尔曲线由n个点来决定，其曲线轨迹可以由一个公式来得出： ? 其中n就代表了贝塞尔曲线是几阶曲线，该公式描述了曲线运动的路径。以下我们来讨论一下，贝塞尔公式如何推导。...三阶贝塞尔曲线 ? ? 同理，根据以上的推导过程可得 ? 由此可以推导 ? n阶贝塞尔曲线 ? ?...曲线二： ? ? ? 从结果可以判断，用上述推导方法可以正确得出贝塞尔曲线与动画曲线之间的关系。...：贝塞尔曲线与CSS3动画、SVG和canvas的应用理解与运用贝塞尔曲线利用canvas绘制贝塞尔曲线 canvas中提供了api可以快速绘制一条贝塞尔曲线，来达到需要的效果：二阶贝塞尔曲线

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AS3贝塞尔曲线类

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