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证明递归:证明M (n ) >= 1/2 (n+ 1) lg(n + 1)

要证明递归式M(n) >= 1/2(n+1)lg(n+1)，我们可以使用数学归纳法。

首先，我们需要证明当n=1时，递归式成立。将n=1代入递归式中，得到M(1) >= 1/2(1+1)lg(1+1)。简化后得到M(1) >= 1/2(2)lg(2)，即M(1) >= lg(2)。由于lg(2) = 1，所以M(1) >= 1，递归式在n=1时成立。

接下来，假设当n=k时，递归式成立，即M(k) >= 1/2(k+1)lg(k+1)。

然后，我们需要证明当n=k+1时，递归式也成立。将n=k+1代入递归式中，得到M(k+1) >= 1/2(k+2)lg(k+2)。

根据递归式的定义，M(k+1) = 2M(k) + k + 1。将M(k) >= 1/2(k+1)lg(k+1)代入上式中，得到M(k+1) >= 2(1/2(k+1)lg(k+1)) + k + 1。简化后得到M(k+1) >= lg(k+1) + k + 1。

我们知道，对于任意正整数k，有lg(k+1) <= k。将这个不等式代入上式中，得到M(k+1) >= k + 1 + k + 1。简化后得到M(k+1) >= 2(k+1)。

综上所述，当n=k+1时，递归式M(n) >= 1/2(n+1)lg(n+1)成立。

根据数学归纳法原理，递归式M(n) >= 1/2(n+1)lg(n+1)对于所有正整数n成立。

关于递归和递归式的更多信息，可以参考腾讯云的相关产品和文档：

腾讯云函数计算（Serverless）：https://cloud.tencent.com/product/scf
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腾讯云云原生应用引擎（Tencent Cloud Native Application Engine）：https://cloud.tencent.com/product/tcnae

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