2.ABAQUS中混凝土损伤塑性模型（CDP）本构详解（二）损伤因子

前言

紧接前文的三种混凝土全曲线模型，本文笔者将以自己的理解跟各位探讨一下ABAQUS中的CDP损伤塑性模型中，即上文中提到的模型3有损弹塑性模型，该模型中最为重要的概念是损伤因子的理解和计算。

WINTER

1.损伤演化参数

我们先介绍一下在《混凝土结构设计规范》附录C中给出的普通混凝土单轴受拉和单轴受压作用下的应力应变曲线公式，其中给出了曲线的计算参数损伤演化参数dt和dc，很多人会错把这个损伤演化参数错认为是ABAQUS中的损伤因子，输入软件后会发生报错。

   从上面公式可以看出，《混规》中给出的应力应变曲线模型是采用我们前文中给出的模型2有损弹性模型，在曲线损伤阶段的应力由损伤弹模Ed=(1-d)×E0乘以总应变ε得到。

因此该模型中是不考虑塑性应变的，但这并不意味着公式是错误的，而是该公式中采用损伤演化因子来拟合实际混凝土强度曲线，这也正是该损伤演化因子并不是损伤因子的原因之一。

2.损伤因子d

   混凝土材料超过弹性阶段进入塑性损伤阶段后，ABAQUS中采用损伤因子d来描述损伤程度，受拉和受压损伤因子分别记为dt和dc，当损伤因子为0时，此时材料处于弹性阶段，损伤因子为1时代表材料完全破坏，损伤发展阶段损伤因子取0~1之间。

   ABAQUS 帮助文件给出了混凝土受压和受拉全曲线的计算公式如下：

  从上述公式可以看出，ABAQUS采用的是我们提到的模型3损伤弹塑性模型，我们将模型1损伤弹性模型绘制在一起可以得到下面的应力应变曲线。

在介绍损伤因子之前，我们要明确上图中的几个重要概念：

（1）无损弹性模量E：混凝土弹性阶段的弹性模量，表征混凝土未损伤的弹性模量。

（2）有损弹性模量Ed：当混凝土就进入损伤阶段，混凝土内部出现微裂纹，随着微裂纹的不断增加，表现出混凝土材料弹模的降低，数值小于无损弹性模量E0。

（3）无损弹性应变：

不考虑混凝土材料微裂纹发展，认为材料的弹性模量一直为E0。

（4）有损弹性应变；

考虑混凝土材料微裂纹发展，材料的弹性模量为有损弹性模量Ed。

（5）非弹性应变：

在模型1无损弹塑性模型中，总应变减去无损弹性应变。

（6）塑性应变：

在模型3有损弹塑性模型中，总应变减去有损弹性应变。

注意：

1.非弹性应变和塑性应变本质上是一样的，只是在不同模型下的叫法不通，混凝土进入塑性损伤阶段后，随着应力的不断增加，混凝土中的水泥胶体被不断变形，以及颗粒间距不断挤压，逐步形成不可恢复的塑性变形，这也是之所以叫损伤塑性模型的原因。

2.随着应力的不断增加，塑性变形是不断增加的，这是模型中重要的一个判断标准，《混规》中的应力应变曲线采用的是模型2有损弹性模型，其在形式上并不考虑塑性变形，这也是《混规》中的损伤演化因子之所以不能适用ABAQUS的根本原因。

那么如何理解损伤因子这一概念呢？

当混凝土材料进入塑性损伤阶段，混凝土材料中出现微裂纹，我们可以将此时的有损材料由微裂纹和混凝土实体两部分组成，当前开裂截面Ad可认为是由微裂纹截面A1和其余未开裂混凝土材料截面A0组成，其中微裂纹截面A1占比为d（即损伤因子），即A1=dAd，可得Ad=dAd+A0，此时有损材料的弹性模量为Ed，外荷载作用在其截面上产生的应力为真实应力。

我们可以将未开裂混凝土实体材料单独提取出来等效成截面为A0的无损弹性体，此时无损弹性体的弹性模量与弹性阶段的材料弹模一致，均为E0，同样的外荷载作用在其截面上产生的应力为有效应力。

通过以上假设，我们分别简单推导一下上图中的公式：

由面积相等可得：

由外力相等条件可得：

由变形一致条件可得：

通过以上分析，我么可以通俗的理解损伤因子d本质上其实是材料损伤后其中的裂纹在材料整体中的占比。

在实验层面可以理解为反复卸载实验下回弹模量的不断降低的状态，如下图所示：

那么应该如何计算损伤因子呢？

这是CDP模型中最为关键的一步，很多资料和文献都建议采用能量法则计算，得到公式：

但该公式的原理和推导往往很少提及，接下来我们探究该公式的原理和推导。

首先，我们要介绍弹性余能的概念，在材料进入塑性损伤阶段后，对其进行卸载后，材料应变分为弹性应变和塑性应变两部分，外荷载所做的功，转变为两部分。

一部分用来使材料产生裂纹损伤和塑性变形，以热量的形式耗散掉，即下图中红色部分面积；

另一部分则以弹性形变的形式储存在材料中，这部分与前文所述的弹性应变能概念一致，在此称为弹性余能，图中绿色部分面积所示。

其次，在分析损伤因子的概念时，我们提出了一个等效弹性体的概念，也就是将损伤材料中未损伤的部分单独等效成一个无损弹性体，这个无损弹性体材料本质上就是有损材料的弹性部分，因此外荷载在有损材料体的弹性余能和等效弹性体中弹性应变能大小是相等的：

根据上文无损材料的等效应力为：

无损弹性体的弹性应变能密度为：

有损材料的弹性余能为：

结合式4~6，得到：

由式7得到：

公式8两侧同时乘以应变ε可得：

进一步变形可得到损伤因子计算如式10：

3.ABAQUS数据输入

ABAQUS中的损伤阶段的数据输入采用的是真实应力-非弹性应变和损伤因子-非弹性应变输入，软件自动计算塑性应变。

混凝土抗压损伤数据

混凝土抗拉损伤数据

4.塑性应变和非弹性应变的关系

ABAQUS中给出了塑性应变和非弹性应变的关系如下，而且说明了塑性应变的重要性。

以单轴受压为例，推导一下塑性应变和非弹性应变的关系。

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至此，我们完成了ABAQU中的混凝土损伤塑模型的基础概念，有兴趣的同行可以自行进行公式的编写，后续会出详细的教程跟大家分享，敬请关注。