浮点数详解

1.概念

        关于浮点数，很多人只是知道浮点数就是小数，简单来说，因为所有的小数都可以用科学计数法来表示，而小数点可能也会随之发生“浮动”，故称之为浮点数。举个例子，有这样一个数字：1999.99，如果用科学计数法表示则为1.99999*10^3，在这个过程中我们很明显地看到了小数点发生了“浮动”，浮点数的名字也由此得来。

2.表示方式

        在计算机中，数据都是通过二进制的方式存储的，浮点数也不例外，而任意一个二进制浮点数V可以表示为V=(（-1）^S)*M*2^E，其中（-1）^S表示符号位，当S=0时，V为正数，S=1时，V为负数。M表示有效数字，大于等于1，小于2（1<=M<2）,2^E表示指数位。

举例：

        将二进制数101.1转化为十进制

1*2^2+0*2^1+1*2^0+1*2^(-1)=5.5

其中我们也可以将二进制数101.1转化为上述的表示方式，即：

V=((-1)^0)*1.011*2^2

S=0,M=1.011,E=2

3.在内存中的存储方式

        那么，浮点数在内存中是如何存储的，我们先来看一张图：

        在上图中，我们知道了float类型的浮点数就是32位浮点数，double类型的浮点数就是64位浮点数，其中float类型的最高的一位符号位S接着的8位是指数位E，剩下的23位为有效数字M。

        在前面提到，1<=M<2,也就是说，M也可以写成1.xxx的形式，其中xxx部分表示小数部分，在计算机内部保存M时,默认这个数的第一位是1，因此可以舍弃，只保留后面的xxx部分。例如保存1.01的时候，只保存101，在读取的时候再把第一位的1加上去，其目的是可以节省1位有效数字，以32位浮点数为例，留给M的只有23位，将第一位舍弃后，就可以保存24位有效数字了。

        而指数E，是一个无符号的整数，如果E为8位，则它的范围为0~255，如果E为11位，范围则为0~2047，但E也会出现负数，所以会加上一个中间数，8位的E是127，11位则是1023。

        例如2^10,它的E是10，所以保存成32位浮点数时必须保存成10+127=137，即10001001。

        指数E从内存取出也分三种情况

1. E不全为0或不全为12.
2. E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1

        比如：0.5的二进制的形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，即小数点右移一位，则为1.0*2^(-1),其阶码为-1+127=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位，则其二进制表示形式为0 01111110 00000000000000000000000。

        3.E全为0或全为1

        当E全为0时，此时的浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），即为真实值，有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxx的小数这样做是为了表示正负0，以及接近于0的很小的数字。

        当E全为1时，此时有效数字M全为0，表示正负无穷大（正负取决于符号位）。