四周固定的圆板在均布载荷下大挠度弯曲的计算【1】

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np


class RoundPlate(object):
    def __init__(self, E: float, nu: float, a: float, t: float):
        """弹性模量，泊松比，半径，板厚"""
        self.E = E  # 弹性模量
        self.nu = nu  # 泊松比
        self.D = E * t**3 / (12.0 * (1-nu**2))  # 板的抗弯刚度
        self.g_nu = (-2791.0*nu*nu + 4250.0*nu + 7505.0) / 17640.0  # 仅与泊松比相关的系数
        self.a = a  # 圆板的半径
        self.t = t  # 板的厚度

    def w0_linear(self, q: float) -> float:  #
        """求线性条件下的板最大位移（圆心处位移），q 为均布载荷（压强）"""
        return (self.a**4) * q / 64.0 / self.D

    def f_w0(self, w0: float, q: float) -> float:
        """求非线性条件下的板最大位移w0（圆心处位移）的方程 f_w0(w0)=0"""
        return w0 + self.g_nu/self.t**2 * w0**3 - self.w0_linear(q)

    def d_f_w0(self, w0: float) -> float:
        """d f_w0(w0)/d(w0), f_w0的一阶导数，for牛顿迭代法"""
        return 3.0 * self.g_nu/self.t**2 * w0*w0 + 1.0

    def solve(self, q: float, error: float = 1e-10) -> float:
        """牛顿迭代法求解一元方程。q 为均布载荷（压强），error 为求解精度"""
        x = self.w0_linear(q)  # 用线性条件下的板最大位移 做为迭代的初值
        i = 0
        while True:
            delta_x = self.f_w0(x, q) / self.d_f_w0(x)
            x = x - delta_x
            if delta_x < error:
                break
            i += 1
        # print(f"// {i} 次迭代后收敛 //")
        return x

    def w(self, rho: float, q: float, error: float = 1e-10):
        """计算板中面任一点的位移"""
        w0 = self.solve(q, error)  # 中面中心点位移
        return w0 * (1 - (rho / self.a)**2)**2


if __name__ == "__main__":
    # 模型输入
    E = 200e9  # 弹性模量
    nu = 0.30  # 泊松比
    a = 1.0e-3  # 圆板的半径
    t = 1.0e-6  # 板的厚度

    rb = RoundPlate(E, nu, a, t)
    q0 = 2.0  # 分布载荷
    print(f"抗弯刚度 D = {rb.D}")
    print(f"线性条件下的板最大位移 w0_L = {rb.w0_linear(q0)}")
    print(f"非线性条件下板最大位移 w0 = {rb.solve(q0)}")

    Q = np.linspace(0, 2, 101)
    # print(Q)
    W0_L = np.frompyfunc(rb.w0_linear, 1, 1)(Q)
    # print(W0_L)
    W0 = np.frompyfunc(rb.solve, 2, 1)(Q, 1e-10)
    # print(W0)

    plt.title("四周固定的圆板在均布载荷下大挠度弯曲最大位移计算")
    plt.plot(Q, W0_L, c='b', linestyle="--", label="线性条件下最大位移")
    plt.scatter(Q, W0_L)
    plt.plot(Q, W0, c='g', linestyle="-", label="非线性条件下最大位移")
    plt.scatter(Q, W0)
    plt.xlabel("均布载荷q")
    plt.ylabel("最大位移（中心位移）")
    plt.legend(loc="lower right")
    plt.show()

    print(f"中心点位移：{rb.w(0,2)}")
    print(f"边缘位移：{rb.w(rb.a, 2)}")
    print(Q.max())

    R = np.linspace(-rb.a, rb.a, 101)
    W = -np.frompyfunc(rb.w, 3, 1)(np.abs(R), Q.max(), 1e-10)
    plt.title("四周固定的圆板在均布载荷下大挠度弯曲 挠曲面")
    plt.plot(R, W, c='b')
    plt.xlabel("坐标 r")
    plt.ylabel("垂向位移")
    plt.show()

抗弯刚度 D = 1.831501831501831e-08
线性条件下的板最大位移 w0_L = 1.7062500000000006e-06
非线性条件下板最大位移 w0 = 1.086361827668184e-06
中心点位移：1.086361827668184e-06
边缘位移：0.0