LTI系统的特征函数-复指数信号

这篇之前要看拉普拉斯的衰减的哪一个。我思来想去觉得还是单独的一篇合适。

这个特征值在德语里面有着自我的意思：这里可以看看我写的线性代数：矩阵特征值-变化中不变的东西

在LTI系统中，特征函数是指一类特殊的输入信号，当它们作用于系统时，输出信号与输入信号保持相同的形式，只是幅度和相位可能发生变化。换句话说，特征函数经过系统后，其形状不会发生改变。

为什么是LTI系统的特征函数？

复指数信号e^(st) (其中s为复数)具有非常特殊的性质，它的导数仍是复指数信号，只是乘上一个常数s。这使得复指数信号在经过LTI系统时，输出仍然是复指数信号。

LTI系统的线性性: 由于LTI系统的线性性，当输入为复指数信号时，输出也一定是复指数信号。

傅里叶变换的基: 任意周期信号都可以表示为复指数信号的线性组合。因此，如果了解了LTI系统对复指数信号的响应，就可以推导出系统对任意周期信号的响应。

这一点其实我们在之前的文章里面都用到了，尤其是LTI系统对响应的推导。

特征值: 当一个复指数信号e^(st)通过LTI系统时，输出为H(s)e^(st)，其中H(s)是系统的传递函数。H(s)被称为特征值，它表示系统对该特征函数的增益和相移。

这个地方其实也揭示了滤波器是如何发挥用处的

线性时不变系统的作用就是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里出系数。

特征函数的物理意义: 特征值H(s)的模表示系统对该频率成分的增益，而相角表示系统对该频率成分的相移。

频域分析: 通过分析系统的特征值H(s)，可以了解系统在不同频率下的响应特性，从而对系统进行频域分析。