如何将2D点反转投影到3D？

将2D点反向投影到3D空间是计算机视觉和图形学中的一个常见问题，通常涉及到从图像平面上的点恢复其在三维世界中的位置。这个过程需要一些关于相机和场景的先验知识，包括相机的内参（如焦距、光心等）和外参（相机在世界坐标系中的位置和朝向）。下面是一些基本步骤和概念，帮助理解如何将2D点反向投影到3D空间。

1. 理解相机模型

在进行反向投影之前，需要理解相机模型，尤其是针孔相机模型（Pinhole Camera Model）。在这个模型中，3D点通过相机矩阵（包括内参矩阵和外参矩阵）投影到2D图像平面上。

• 内参矩阵 KK 包含了相机的焦距和光心。
• 外参矩阵 包括旋转矩阵 RR 和平移向量 tt，描述了相机相对于世界坐标系的位置和朝向。

2. 使用内参和外参

假设你有一个2D点 (u,v)(u,v) 在图像平面上，以及相机的内参矩阵 KK 和外参 R,tR,t，你可以通过以下步骤将这个2D点反向投影到3D空间：

a. 将2D点转换为归一化图像坐标

这可以通过内参矩阵的逆来实现： [ \begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix} = K^{-1} \begin{bmatrix} u \ v \ 1 \end{bmatrix} ] 这里 (x,y,1)(x,y,1) 是归一化的图像坐标。

b. 反向投影到3D空间

由于缺乏深度信息（Z坐标），(x,y,1)(x,y,1) 只能表示一个方向。要将这个点反向投影到3D空间，你需要一个额外的参数，比如深度 ZZ 或者某种形式的场景约束（如已知的平面或多个视图）。

如果你知道点在3D空间中的深度 ZZ，那么3D坐标 (X,Y,Z)(X,Y,Z) 可以通过以下方式计算： [ \begin{bmatrix} X \ Y \ Z \end{bmatrix} = Z \begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix} ]

c. 转换到世界坐标系

如果你需要点在世界坐标系中的位置，可以使用外参矩阵将其从相机坐标系转换到世界坐标系： [ \begin{bmatrix} X_w \ Y_w \ Z_w \end{bmatrix} = R^{-1} \left( \begin{bmatrix} X \ Y \ Z \end{bmatrix} - t \right) ]

3. 实际应用

在实际应用中，通常需要结合多个视图（立体视觉）或使用深度传感器（如LIDAR或深度相机）来获取足够的信息进行准确的3D重建。单一视图通常无法提供足够的信息来唯一确定3D空间中的点。