黄蓉现在已经得出了任意三角形的面积公式,但是,黄蓉的这个解题过程对不对呢?以上全错!
第一,这个公式太丑了,两边还不对称。
第二,这个根号里面的平方次数也太多了,不好算。
黄蓉是一个精益求精的人,她想尝试改一下这个公式,能不能更好看一点儿呢,换一条思路,再来!
黄蓉又回到刚才这个式子里面:
这个中括号里面的内容能不能再优化一下呢?黄蓉把c的平方从里面提取出来,可以得到:
黄蓉仔细观察这个中括号里面的绿色的部分,它其实是两个数的平方差,那根据平方差公式,对中括号里面的内容进行因式分解,可以得到:
黄蓉继续化简绿色的部分,把括号里的a都提到分母的上面,变成2ac,可以得到:
通过加法的结合律,黄蓉把2ac跟a的平方、c的平方结合起来,凑成平方公式,可以得到:
黄蓉把小括号里面的内容,写成平方的形式,可以得到:
现在中括号里面,分子里面的内容,相当于又是两个数的平方差,黄蓉继续使用平方差公式,进行因式分解,可以得到:
然后黄蓉把中括号里面的分母,也全部展开,可以得到:
把分子分母里面的c的平方消掉,再把4分解成2*2,可以得到:
黄蓉发现,分母当中有四个2相乘,把它们分别跟分子当中的4个因式进行配对,可以得到:
现在黄蓉得到的这个公式,其实已经很漂亮了,但还是有些繁琐,对吧。
黄蓉观察公式里面的这四项,发现有一些相似之处。
第一项是(a+b+c)/2,其实就是三角形三条边长的平均值,或者说是三角形周长的一半。这是一个很常见的而且也是很容易求出来的值,黄蓉把这一项,用一个中间变量p来表示。
那第二项(a+c-b)/2,等于什么呢?
所以第二项也可以用中间变量p来表示:
第三项(b+a-c)/2,等于什么呢?
所以第三项也可以用中间变量p来表示:
那第四项(b-a+c)/2,等于什么呢?
所以第四项也可以用中间变量p来表示:
这样我们刚才的整个三角形的面积公式,都可以通过中间变量p进行变换:
变换以后的公式是这样的:
两边开平方,可以得到:
因为三角形的三条边长a、b、c都是已知的,那么p=(a+b+c)/2,也相当于是已知的。
就是说,对于任意三角形,只需要量出3条边长,代入这个公式,就能求出面积。
黄蓉现在已经得出了任意三角形的面积公式,她对这个结果相当满意,因为这个式子非常简洁而且漂亮。
但是,黄蓉的这个解题过程对不对呢?
以上全错!
——《数学漫游奇遇记》M7-9(未完待续…)
领取专属 10元无门槛券
私享最新 技术干货