01
这三个可以说都是勾股定理引申出的定理,从小小的三角形出发,发挥了巨大的作用。
我们先来画一个三角形,它分别有三个边,abc,如图所示。
它同时也有三个角,1.2.3。
现在咱们做个垂线,让AD垂直BC,垂点是D。
好,△ABC被分成了两个直角三角形。
于是,我们就可以有以下定理。
这就是余弦定理,当我们知道了2个边,和它们的夹角,就能算出第三边。
相应的还有以下边角关系。
这个定理在做题中没太多用处,但在生活中应用很广,很重要。
比如测距。
在地图上测量距离,在导航时计算航线和位置。
在物理中计算受力,进一步延伸到工程上,计算桥梁受力。
还可以计算向量之间的角度——这一点在互联网分类方面很有用。
如果把一组信息抽象为一组向量,另一组信息抽象成另一组向量。
两组向量之间的夹角可算,如果夹角大,就说明两个信息的相关度不大。
如果夹角小,就说明两个信息的相关度不大。
于是,一个人的网络画像,一个产品跟什么样的人群相关,就可以计算了。
你看,你的行为逃不过数学之眼。
02
下面再说正弦定理。
这次我们画一个△ABC,然后画它的外接圆,以外接圆的半径CD,再跟B点相连,就有了另外一个三角形。
既然CD等于直径,那么圆周角DBC就是90度。
于是,有下图的边角关系。
也就是说,三角形的边与对标的正弦比是定值。
在求边和求正弦值的时候,这个公式在题目中会有用。
在生活中,应用更广泛。
比如建筑中用来计算建筑物之间的夹角和距离。
在测距领域,用来计算地球上不同地点之间的夹角。
甚至可应用到宇宙中,测算天体之间的距离和角度。
导航的时候,配合余弦定理用来测算角度和距离。
其实导航员知道原理,现在他们不用自己算,有电脑程序。
03
海伦公式。
我们再画一个三角形,知道它的三边长,abc,我们通过余弦定理可以推出,下面的边角关系。
也就是说,我们根本不用做垂线,知道三边边长,就可以求三角形面积。
做数学题时,我没少用这个公式,很方便。
由于很多不规则形状都可以拆分成三角形,所以,在建筑中,在测量中,不规则形状的面积可以用这个公式近似计算。
也可以让计算机用海伦公式来画图,用来做测绘。
04
你看,简单的三角形,能够延伸这么多。
所以初中考试的一个重点就是“解三角形”,用处太大了。
其实还有好多,只是我没有写。
如果你感兴趣,有一本书叫《挑战极限思维:勾股定理的365种证明》,可以买来看看。
这里面有各种三角形知识,也涉及好多数学分析方法。
不仅能对三角形了解得更透彻,也是解题思维的一种提升。
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