烧脑证明别看系列之1

声明: 本篇摘录川大高等数学第一册第四版例题, 原文有改动, 勿喷

证 \lim \limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1, a>0

根据极限的\epsilon - N定义, 需证明

1. 当a > 0, 可去掉上式绝对值符号,

求解此式, 请读者脑补过程, 下面是结果:

回顾\epsilon - N定义内容, 有一个条件\exists N \in N \forall n > N, 这里的N是正整数, 上式却不是, 我们可以对\frac{\lg a}{\lg {1+\epsilon}}向上取整, 令N = \left [ \frac{\lg a}{\lg {1+\epsilon}}\right ], 这样条件就满足了, 接下来把\epsilon - N定义再写一遍, 把里边的N换成\left [ \frac{\lg a}{\lg {1+\epsilon}}\right ], case1就得证了, 读者脑补, 不解释

1. 当a = 1, 退化为常数列, 极限就是1, 不解释
2. 当0 < a < 1, 令a = \frac{1}{b}, 故b>1

为啥要这样换元, 不解释, 看到b>1, 有没有联想到什么? 接着看

这里 {\mid \sqrt[n]{b} - 1 \mid}并且b>1, 这与case1情况相同, 极限为1

综上所述, **得证