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社区首页 >专栏 >【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(2) 特殊函数类(单射、满射、双射及其性质、常/恒等函数、置换/排列)「建议收藏」

【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(2) 特殊函数类(单射、满射、双射及其性质、常/恒等函数、置换/排列)「建议收藏」

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全栈程序员站长
发布于 2022-08-31 10:55:27
发布于 2022-08-31 10:55:27
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大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动,欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外,在本系列学习文章中,为了透彻理解离散数学,本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录,在后续学习中还会逐渐补充:

  • 国外经典教材)离散数学及其应用 第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ,作者是 Kenneth H.Rosen ,袁崇义译,机械工业出版社
  • 离散数学 第二版,武波等编著,西安电子科技大学出版社,2006年
  • 离散数学 第三版,方世昌等编著,西安电子科技大学出版社,2013年
  • (经典参考书及其题解)离散数学/离散数学——理论•分析•题解,左孝凌、李为鉴、刘永才编著,上海科学技术文献出版社
  • 离散数学习题集:数理逻辑与集合论分册,耿素云;图论分册,耿素云;抽象代数分册, 张立昂。北京大学出版社

文章目录


2. 特殊函数类

2.1 单射、满射和双射及其性质

根据函数映射的特征,产生了三种特殊的函数类:单射、满射和双射。当然,不是单射也不是满射的函数也有很多。

定义2.1.1 设 f f f 是从集合 X X X 到 Y Y Y 的函数(每个 x i x_i xi​ 都只对应一个 f ( x i ) f(x_i) f(xi​) )。 (1)任取 x 1 , x 2 ∈ X x_1, x_2\in X x1​,x2​∈X ,如果 x 1 ≠ x 2 x_1 \ne x_2 x1​​=x2​ ,那么 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f(x_1) \ne f(x_2) f(x1​)​=f(x2​) ,则称 f f f 是单射函数 injective function ,简称单射或内映射 into mapping 、入射等(即不同的 x i x_i xi​ 对应的 f ( x i ) f(x_i) f(xi​) 不同)。 (2)任取 y ∈ Y y \in Y y∈Y ,存在 x ∈ X x \in X x∈X ,使得 f ( x ) = y f(x) = y f(x)=y ,则称 f f f 为满射函数 surjective function ,简称满射或上映射 onto mapping(即 f ( X ) = Y f(X) = Y f(X)=Y )。 (3)若 f f f 既是单射又是满射,则称 f f f 是双射函数 bijective function ,简称双射或一一对应的映射。

【例1】判断下列函数的类型。 (1) s : N → N , s ( x ) = x + 2 s: \N \to \N, s(x) = x+2 s:N→N,s(x)=x+2 (2) f : N → N , f ( x ) = x   m o d   10 f: \N \to \N, f(x) = x \bmod 10 f:N→N,f(x)=xmod10 (3) f : N → N , f ( x ) = { x − 1 i f i s o d d ( x ) x + 1 i f i s e v e n ( x ) f:\N \to \N, f(x) = \begin{cases} x – 1 \quad \mathtt{if\ isodd(x)} \\ x + 1\quad \mathtt{if\ iseven(x)} \end{cases} f:N→N,f(x)={ x−1if isodd(x)x+1if iseven(x)​ (4) h : R → R , h ( x ) = x 3 + 2 x 2 h: \R \to \R, h(x) = x^3 + 2x^2 h:R→R,h(x)=x3+2x2 (5) a , b ∈ R a, b \in R a,b∈R 且 a ≠ b a \ne b a​=b , g : [ 0 , 1 ] → [ a , b ] , g ( x ) = ( b − a ) x + a g: [0, 1] \to [a, b], g(x) = (b – a) x + a g:[0,1]→[a,b],g(x)=(b−a)x+a (6) f : N → ρ ( N ) , f ( x ) = { x } f: \N \to \rho(\N), f(x) = \{x\} f:N→ρ(N),f(x)={ x} 解: (1) s s s 是单射而非满射,因为 0 , 1 0, 1 0,1 没有原像。 (2) f f f 既非单射也非满射。 (3) f f f 是双射。 (4) h h h 是满射而非单射。 (5) g g g 是双射。 (6) f f f 是单射而非满射。因为 ρ ( N ) \rho(\N) ρ(N) 中 N \N N 上的每个元素在函数 f f f 下都有一个唯一的像,但 ρ ( N ) \rho(\N) ρ(N) 中有些元素没有原像,例如 { 0 , 1 } \{0, 1\} { 0,1} 。【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(6) 三歧性定理、两集合基数判等定理(基数的比较)、Cantor定理这篇文章的 Cantor 定理中证明了任意函数 g : M → ρ ( M ) g:M→ρ(M) g:M→ρ(M) 均不是满射。

【例2】 f : [ 0 , 1 ] → [ a , b ] , a < b , f ( x ) = ( b − a ) x + a f: [0, 1] \to [a, b],\ a < b,\ f(x) = (b – a) x + a f:[0,1]→[a,b], a<b, f(x)=(b−a)x+a ,证明 f f f 为双射。 证明: (1)对任意 x 1 , x 2 ∈ [ 0 , 1 ] , x 1 ≠ x 2 x_1, x_2 \in [0, 1], \ x_1 \ne x_2 x1​,x2​∈[0,1], x1​​=x2​ ,易知 f ( x 1 ) = ( b − a ) x 1 + a ≠ ( b − a ) x 2 + a = f ( x 2 ) f(x_1) = (b – a) x_1 + a \ne (b – a) x_2 + a = f(x_2) f(x1​)=(b−a)x1​+a​=(b−a)x2​+a=f(x2​) 。故 f f f 是单射函数。 (2)显然,对任意 y ∈ [ a , b ] y\in [a, b] y∈[a,b] ,均存在 x = y − a b − a ∈ [ 0 , 1 ] x =\dfrac{ y – a}{b – a} \in [0, 1] x=b−ay−a​∈[0,1] ,故 f f f 是满射函数。 (3)由(1)、(2)可知, f f f 是双射函数。

定理2.1.1 设 X X X 和 Y Y Y 是有限集合, f f f 是从集合 X X X 到 Y Y Y 的函数。 (1)若 f f f 是单射,则必有 ∣ X ∣ ≤ ∣ Y ∣ |X| \le |Y| ∣X∣≤∣Y∣ 。 (2)若 f f f 是满射,则必有 ∣ X ∣ ≥ ∣ Y ∣ |X| \ge |Y| ∣X∣≥∣Y∣ 。 (3)若 f f f 是双射,则必有 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |X| = |Y| ∣X∣=∣Y∣ 。 证明 : (1)因为 f f f 是单射,所以 ∣ f ( x ) ∣ = ∣ X ∣ |f(x)| = |X| ∣f(x)∣=∣X∣ 。又因为 f ( x ) ⊆ Y f(x) \subseteq Y f(x)⊆Y ,所以有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ ∣ Y ∣ |f(x) | \le |Y| ∣f(x)∣≤∣Y∣ ,故有 ∣ X ∣ ≤ ∣ Y ∣ |X| \le |Y| ∣X∣≤∣Y∣ 。 (2)假设 ∣ X ∣ < ∣ Y ∣ |X| < |Y| ∣X∣<∣Y∣ ,因为 ∣ f ( x ) ∣ ≤ ∣ X ∣ |f(x) | \le |X| ∣f(x)∣≤∣X∣(函数定义,对每个 x ∈ X x \in X x∈X ,都有唯一的一个 y ∈ Y y \in Y y∈Y 满足 ⟨ x , y ⟩ ∈ f \lang x, y\rang \in f ⟨x,y⟩∈f ),所以有 ∣ f ( x ) ∣ < ∣ Y ∣ |f(x)|<|Y| ∣f(x)∣<∣Y∣,即 f ( X ) ⊂ Y f(X) \subset Y f(X)⊂Y ,这与 f f f 是满射矛盾。 (3)可由(1)和(2)直接得出。

定理2.1.2 设 X X X 和 Y Y Y 是有限集合, f f f 是从集合 X X X 到 Y Y Y 的函数。若 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |X|=|Y| ∣X∣=∣Y∣ ,则 f f f 是单射,当且仅当 f f f 是满射。 证明

  • 必要性。若 f f f 是单射函数,则有 ∣ f ( X ) ∣ = ∣ X ∣ |f(X)| = |X| ∣f(X)∣=∣X∣ 。又因为 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |X| = |Y| ∣X∣=∣Y∣ ,所以有 ∣ f ( x ) ∣ = ∣ Y ∣ |f(x)|= |Y| ∣f(x)∣=∣Y∣ 。因为 Y Y Y 是有限的,且根据函数的定义 f ( X ) ⊆ Y f(X) \subseteq Y f(X)⊆Y ,故 f ( X ) = Y f(X) = Y f(X)=Y ,因此 f f f 是一个满射函数。
  • 充分性。若 f f f 是满射函数,假设 f f f 不是单射函数,则存在 a , b ∈ X , a ≠ b a, b \in X, a\ne b a,b∈X,a​=b 且 f ( a ) = f ( b ) f(a) = f(b) f(a)=f(b) 。所以有 ∣ X ∣ > ∣ f ( x ) ∣ |X| > |f(x)| ∣X∣>∣f(x)∣ ,而 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |X| = |Y| ∣X∣=∣Y∣ ,因此有 ∣ Y ∣ > ∣ f ( x ) ∣ |Y| > |f(x)| ∣Y∣>∣f(x)∣ 。因为 Y Y Y 是有限的,故 f ( x ) ⊂ Y f(x) \subset Y f(x)⊂Y 。这与 f f f 是满射函数矛盾。

2.2 常函数、恒等函数、置换/排列

定义2.2.1 对于函数 f : X → Y f: X\to Y f:X→Y ,若存在元素 c ∈ Y c \in Y c∈Y ,对于任意 x ∈ X x\in X x∈X 都有 f ( x ) = c f(x) = c f(x)=c ,则称 f f f 为常函数 constant function

定义2.2.2 对于函数 f : X → X f: X\to X f:X→X ,若对于任意 x ∈ X x \in X x∈X 都有 f ( x ) = x f(x) = x f(x)=x ,则称 f f f 为 X X X 上的恒等函数 identity function恒等函数是双射函数

定义2.2.3 对于函数 f : X → X f: X\to X f:X→X ,若 f f f 是双射的,则称 f f f 是集合 X X X 上的一个置换 permutation 或排列。显然, X X X 上的恒等函数是 X X X 上的一个置换,亦称为恒等置换幺置换。当 X X X 是有限集合且 ∣ X ∣ = n |X| = n ∣X∣=n 时,称 X X X 上的置换是 n n n 次置换;当 X X X 是无限集合时,称 X X X 上的置换是无限次置换

集合 X X X 上的 n n n 次置换通常写成: P = ( x 1 x 2 … x n f ( x 1 ) f ( x 2 ) … f ( x n ) ) P = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 &\dots& x_n\\ f(x_1) & f(x_2) &\dots& f(x_n) \end{pmatrix} P=(x1​f(x1​)​x2​f(x2​)​……​xn​f(xn​)​) 特别的,置换的复合是可结合的(见【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(4) 复合函数与逆函数定理4.4.2),即置换在复合运算下具有可结合性。又因为置换是双射函数,而双射函数的复合运算是双射函数(见【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(4) 复合函数与逆函数定理4.4.3),所以置换的复合也是置换,即置换在复合运算下具有封闭性。例如(此处运算顺序先左后右): P 2 ⋄ P 3 = ( 1 2 3 1 3 2 ) ⋄ ( 1 2 3 2 1 3 ) = ( 1 2 3 2 3 1 ) = P 4 P_2 \diamond P_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \diamond \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = P_4 P2​⋄P3​=(11​23​32​)⋄(12​21​33​)=(12​23​31​)=P4​

在后文的抽象代数部分,我们会系统学习置换的性质。

【例3】设 X X X 是有限集合,且有 ∣ X ∣ = n |X| = n ∣X∣=n ,则 X X X 上有多少个不同的置换? 解: X X X 上的置换数等于 X X X 中元素的不同排列数 n ! n! n! 。

【例4】设 A = { 1 , 2 , 3 } A = \{1, 2, 3\} A={ 1,2,3} ,给出 A A A 上的所有置换。 解: P 1 = ( 1 2 3 1 2 3 ) , P 2 = ( 1 2 3 1 3 2 ) , P 3 = ( 1 2 3 2 1 3 ) P 4 = ( 1 2 3 2 3 1 ) , P 5 = ( 1 2 3 3 1 2 ) , P 6 = ( 1 2 3 3 2 1 ) P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix},\ P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix},\ P_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ {} \\ P_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix},\ P_5 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix},\ P_6 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} P1​=(11​22​33​), P2​=(11​23​32​), P3​=(12​21​33​)P4​=(12​23​31​), P5​=(13​21​32​), P6​=(13​22​31​)

发布者:全栈程序员栈长,转载请注明出处:https://javaforall.cn/143696.html原文链接:https://javaforall.cn

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