大模型与AI底层技术揭秘（41）割圆术与雪糕

一年一度的高考揭榜了，小H邻居家的孩子S考得不错，有望考上T大。

小H在楼下见到S和他的妈妈，S的妈妈对S说：你看，你还记得小H当初教你背圆周率吗？

S想起来了，小时候小H对他说：你去背圆周率，背到100位就给你买雪糕吃！

但是，直到S考上大学，小H还是没有给S买过雪糕。

“那么，等我读了大学，是不是就能学会，圆周率是怎么算出来的呢？”

小H陷入了沉思。

画面一转，历史的车轮从西晋时期开始转动。

一位穿着道袍的中年人在地上绘制着图形。他绘制的是一个一丈大的圆形，原型内部有一个个重叠的多边形。

随着多边形边数的增加，多边形也越来越接近圆形。

这是西晋著名数学家刘徽在使用“割圆术”来计算圆周率。在《九章算术注》中，刘徽给出了通过3072边形，逼近圆形，计算出的圆周率值3.1416。

与此几乎同一时代的古希腊和古罗马，为了计算圆周率，使用的方法是，在圆周上放一圈米粒，再往圆的直径上放满米粒，对米粒数量做比较，得到圆周率。

小H看到这里，笑喷了。

方老师告诉小H，古代人使用这种方式计算圆周率，其根本原因是，圆周率是一个超越数（不能基于整数，用有限次加减乘除及幂运算得到的数），而对圆周率的计算，属于对超越函数（也就是不能通过有限个幂函数的和进行计算的函数）进行数值计算。

如：

Pi = arcsin(1) * 4

那么，在GPU中，会如何计算这样的一个函数呢？我们将问题进行延伸，三角函数、双曲函数、指数和对数函数在GPU中会如何计算呢？

实际上，在GPU的主要使用场景中，如纹理贴图，就难免涉及到三角函数的批量计算。

CUDA提供了两类超越函数的计算方式。

一类是标准方式，如：

sin(x) —— 正弦函数；

cos(x) —— 余弦函数；

tan(x) —— 正切函数；

exp(x) —— 指数函数；

log(x) —— 对数函数；

asin(x) —— 反正弦函数；

acos(x) —— 反余弦函数；

sinh(x) —— 双曲正弦函数；

cosh(x) —— 双曲余弦函数；

tanh(x) —— 双曲正切函数；

其他的数学类函数过多，不在此一一列举。

这一类函数的实现，实际上就是利用函数的麦克劳林展开来计算，如：

任何一名学习过《高等数学》的读者，都可以花一点点时间来推导出这些级数，结合C语言基础，也可以写出使用CPU通过计算这些级数，得到这些超越函数计算结果的程序。

在CUDA中，实际上也是利用各类超越函数的麦克劳林展开式，来进行这些超越函数的数值计算的。

（我们再讲一点点和没关系的，实际上三角函数和双曲函数都是指数函数的变体，这可以从欧拉公式很容易地得到）

我们从复平面上看：

小H默默地记在小本子上：想学好计算机，首先要学好数学！

感兴趣的同学，也可以通过这种方式手工计算出三角函数的值。

当然，在实践中，我们没有人会手算这些函数的值，在没有计算器的情况下，我们会在数学手册中进行查表得到近似值。

在GPU中，也提供了这一类查表得到近似值的方法——