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【机器学习-无监督学习】降维与主成分分析

Francek Chen

发布于 2025-01-22 15:10:51

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机器学习是一门人工智能的分支学科，通过算法和模型让计算机从数据中学习，进行模型训练和优化，做出预测、分类和决策支持。Python成为机器学习的首选语言，依赖于强大的开源库如Scikit-learn、TensorFlow和PyTorch。本专栏介绍机器学习的相关算法以及基于Python的算法实现。

【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/Python_machine_learning。

在上一篇文章聚类中，我们介绍了无监督学习的重要问题之一：聚类问题，并主要讲解了k均值算法。结尾处我们提到，在解决复杂聚类问题时，第一步通常不会直接使用k均值算法，而是会先用其他手段提取数据的有用特征。对于高维复杂数据来说，其不同维度代表的特征可能存在关联，还有可能存在无意义的噪声干扰。因此，无论后续任务是有监督学习还是无监督学习，我们都希望能先从中提取出具有代表性、能最大限度保留数据本身信息的几个特征，从而降低数据维度，简化之后的分析和计算。这一过程通常称为数据降维（dimensionality reduction），同样是无监督学习中的重要问题。本文就来介绍数据降维中最经典的算法——主成分分析（principal component analysis，PCA）。

一、降维

（一）维数灾难

维数灾难（Curse of Dimensionality）通常是指在涉及到向量的计算的问题中，随着维数的增加，计算量呈指数倍增长的一种现象。在很多机器学习问题中，训练集中的每条数据经常伴随着上千、甚至上万个特征。要处理这所有的特征的话，不仅会让训练非常缓慢，还会极大增加搜寻良好解决方案的困难。这个问题就是我们常说的维数灾难。

图1 维数灾难

维数灾难涉及数字分析、抽样、组合、机器学习、数据挖掘和数据库等诸多领域。在机器学习的建模过程中，通常指的是随着特征数量的增多，计算量会变得很大，如特征达到上亿维的话，在进行计算的时候是算不出来的。有的时候，维度太大也会导致机器学习性能的下降，并不是特征维度越大越好，模型的性能会随着特征的增加先上升后下降。

（二）降维概述

1. 什么是降维？

降维（Dimensionality Reduction）是将训练数据中的样本（实例）从高维空间转换到低维空间，该过程与信息论中有损压缩概念密切相关。同时要明白的，不存在完全无损的降维。有很多种算法可以完成对原始数据的降维，在这些方法中，降维是通过对原始数据的线性变换实现的。

2. 为什么要降维

高维数据增加了运算的难度。
高维使得学习算法的泛化能力变弱（例如，在最近邻分类器中，样本复杂度随着维度成指数增长），维度越高，算法的搜索难度和成本就越大。
降维能够增加数据的可读性，利于发掘数据的有意义的结构。

3. 降维的主要作用

（1）减少冗余特征，降低数据维度

假设我们有两个特征：

$x_1$

：长度用厘米表示的身高；

$x_2$

：是用英寸表示的身高。这两个分开的特征

$x_1$

和

$x_2$

，实际上表示的内容相同，这样其实可以减少数据到一维，只有一个特征表示身高就够了。很多特征具有线性关系，具有线性关系的特征很多都是几余的特征，去掉冗余特征对机器学习的计算结果不会有影响。

（2）数据可视化

t-distributed Stochastic Neighbor Embedding（t-SNE）将数据点之间的相似度转换为概率。原始空间中的相似度由高斯联合概率表示，嵌入空间的相似度由“学生t分布”表示。虽然Isomap，LLE和variants等数据降维和可视化方法，更适合展开单个连续的低维的manifold。但如果要准确的可视化样本间的相似度关系，如对于下图所示的S曲线（不同颜色的图像表示不同类别的数据），t-SNE表现更好。因为t-SNE主要是关注数据的局部结构。

4. 降维的优缺点

降维的优点：

通过减少特征的维数，数据集存储所需的空间也相应减少，减少了特征维数所需的计算训练时间；
数据集特征的降维有助于快速可视化数据；
通过处理多重共线性消除冗余特征。

降维的缺点：

由于降维可能会丢失一些数据；
在主成分分析（PCA）降维技术中，有时需要考虑多少主成分是难以确定的，往往使用经验法则。

二、主成分与方差

顾名思义，PCA的含义是将高维数据中的主要成分找出来。设原始数据

$\mathcal D=\{\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2,\cdots,\boldsymbol x_m\}$

，其中

$\boldsymbol x_i\in\mathbb R^d$

。我们的目标是通过某种变换

$f:\mathbb R^d\rightarrow\mathbb R^k$

，将数据的维度从

$d$

减小到

$k$

，且通常

$k\ll d$

。变换后的数据不同维度之间线性无关，这些维度就称为主成分。也就是说，如果将变换后的数据排成矩阵

$\boldsymbol Z=(\boldsymbol z_1,\cdots,\boldsymbol z_m)^{\mathrm T}$

，其中

$\boldsymbol z_i=f(\boldsymbol x_i)$

，那么

$\boldsymbol Z$

的列向量是线性无关的。从矩阵的知识可以立即得到

$k<m$

。

PCA算法不仅希望变换后的数据特征线性无关，更要求这些特征之间相互独立，也即任意两个不同特征之间的协方差为零。因此，PCA算法在计算数据的主成分时，会从第一个主成分开始依次计算，并保证每个主成分与之前的所有主成分都是正交的，直到选取了预先设定的

$k$

个主成分为止。关于主成分选取的规则，我们以一个平面上的二元高斯分布为例来具体说明。如图2(a)所示，数据点服从以

$(3,3)$

为中心、

$x_1$

方向方差为1.5、

$x_2$

方向方差为0.5、协方差为0.8的二元高斯分布。从图中可以明显看出，当前的

$x_1$

和

$x_2$

两个特征之间存在关联，并不是独立的。

图2 一个二元高斯分布和两个维度的投影情况

图2(b)展示了数据分别向

$x_1$

和

$x_2$

方向投影的结果。由于

$x_1$

方向方差更大，数据在该方向的投影分布也更广。也就是说，数据向

$x_1$

方向的投影保留了更多信息，

$x_1$

是一个比

$x_2$

更好的特征。如果我们不再把目光局限于

$x_1$

和

$x_2$

两个方向，而是考虑平面上的任意一个方向，那么如左图中红色虚线所示，沿直线

$x_2=0.557x_1+1.330$

的方向数据的方差是最大的，我们应当将此方向作为数据的特征之一。既然PCA算法希望选出的主成分保留最多的信息，那么就应当不断选取数据方差最大的方向作为主成分。因此，PCA计算的过程就是依次寻找方差最大方向的过程。

为了方便计算，我们通常要先对数据进行中心化，把当前每个特征都变为均值为0的分布。用

$x_i^{(j)}$

表示数据

$\boldsymbol x_i$

的第

$j$

个维度，那么均值

$\mu_j$

为

$\mu_j=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^mx_i^{(j)}, \quad j=1,\cdots,d$

将数据中心化，得到

$x_i^{(j)}\leftarrow x_i^{(j)}-\mu_j, \quad i=1,\cdots,m$

以图2(a)的高斯分布为例，变换后的图像如图3(b)所示，其中心点已经从

$(3,3)$

变为了

$(0,0)$

。接下来在讨论时，我们默认数据都已经被中心化。下面，我们就来具体讲解如何寻找数据中方差最大的方向。

图3 数据的中心化

三、利用特征分解进行PCA

为了找到方差最大的方向，我们先来计算样本在某个方向上的投影。设

$\boldsymbol u$

为方向向量，满足

$\Vert\boldsymbol u\Vert=1$

，向量

$\boldsymbol x$

在方向

$\boldsymbol u$

上的投影为

$\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol u$

。于是所有样本在方向

$\boldsymbol u$

上的方差为

$\begin{aligned} \sigma_{\boldsymbol u} &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol u)^2 \\ &=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\left(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \end{aligned}$

矩阵

$\boldsymbol\Sigma=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T} \in \mathbb R^{d\times d}$

称为样本的协方差矩阵。由于

$m$

是常数，简单起见，下面省略因子

$\frac{1}{m}$

。要令方差最大，就相当于求解下面的优化问题

$\max_{\boldsymbol u}\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \quad \text{s.t.}\Vert\boldsymbol u\Vert=1$

在求解该问题之前，我们先来介绍矩阵的特征值（eigenvalue）与特征分解（eigendecomposition）相关的知识。对于方阵

$\boldsymbol A\in\mathbb R^{n\times n}$

，如果向量

$\boldsymbol\xi\in\mathbb R^n$

与实数

$\lambda$

满足

$\boldsymbol A\boldsymbol\xi=\lambda\boldsymbol\xi$

，就称

$\lambda$

是矩阵

$\boldsymbol A$

的特征值，

$\boldsymbol\xi$

为矩阵的特征向量。特征向量

$\boldsymbol x$

的任意非零实数倍

$r\boldsymbol x$

满足

$\boldsymbol A(r\boldsymbol x)=r(\boldsymbol A\boldsymbol x)=r(\lambda\boldsymbol x)=\lambda(r\boldsymbol x)$

因而

$r\boldsymbol x$

也还是特征向量。简单来说，矩阵

$\boldsymbol A$

作用到其特征向量

$\boldsymbol x$

上的结果等价于对该向量做伸缩变换，伸缩的倍数等于特征值

$\lambda$

，但不改变向量所在的直线。从这个角度来看，

$r\boldsymbol x$

与

$\boldsymbol x$

共线，

$r\boldsymbol x$

自然就是特征向量。因此，我们通常更关心单位特征向量，即长度为1的特征向量。例如，矩阵

$\boldsymbol A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 &1\\ \end{pmatrix}$

的特征值及其对应的单位特征向量有两组，分别为

$\lambda_1=1$

，

$\xi_1=(-1,1)^{\mathrm T}$

和

$\lambda_2=2$

，

$\xi_2=(1,0)^{\mathrm T}$

，大家可以自行计算验证。显然，对角矩阵

$\text{diag}(d_1,\cdots,d_n)$

的特征值就等于其对角线上的元素

$d_1,\cdots,d_n$

。特别地，

$n$

阶单位阵

$\boldsymbol I_n$

的特征值是1，且空间中的所有向量都是该特征值对应的特征向量。

我们可以从线性变换的角度来理解矩阵的特征值和特征向量。一个

$n$

阶方阵

$\boldsymbol A$

可以看作是

$n$

维空间中的变换，将

$n$

维向量

$\boldsymbol x$

变为另一个

$n$

维向量

$\boldsymbol A\boldsymbol x$

。由于

$\boldsymbol A(\boldsymbol x_1+\boldsymbol x_2)=\boldsymbol A\boldsymbol x_1+\boldsymbol A\boldsymbol x_2$

以及

$\boldsymbol A(r\boldsymbol x_1)=r\boldsymbol A\boldsymbol x_1$

对任意向量

$\boldsymbol x_1$

、

$\boldsymbol x_2$

和实数

$r$

成立，该变换是一个线性变换。事实上，当坐标轴确定之后，线性变换与矩阵之间有一一对应关系。如果把向量都看作从原点指向向量所表示坐标的有向线段，可以证明，任意一个线性变换总可以分解成绕原点旋转和长度伸缩的组合。因此，矩阵与向量相乘

$\boldsymbol A\boldsymbol x$

可以理解为将向量

$\boldsymbol x$

旋转某一角度，再将长度变为某一倍数。而矩阵的特征向量，就是在该变换作用下只伸缩不旋转的向量，并且其对应的特征值就是伸缩的倍数。当特征值

$\lambda>0$

时，变换后的向量与原向量方向相同；

$\lambda<0$

时方向相反；

$\lambda=0$

则表示矩阵会把所有该直线上的向量压缩为零向量。

从这一角度继续，我们可以引入正定矩阵（positive definite）和半正定矩阵（positive semidefinite）的概念。如果对任意非零向量

$\boldsymbol x$

，都有

$\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x\ge0$

，就称

$\boldsymbol A$

为半正定矩阵；如果严格有

$\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x>0$

，就称

$\boldsymbol A$

为正定矩阵。如果将

$\boldsymbol y=\boldsymbol A\boldsymbol x$

看作变换后的向量，那么

$\boldsymbol x^{\mathrm T}y\ge0$

就表示

$\boldsymbol x$

与

$\boldsymbol y$

之间的夹角小于等于90°。由此，我们可以立即得到半正定矩阵的所有特征值都非负，否则负特征值会使特征向量在变换后反向，与原向量夹角为180°，产生矛盾。

为什么我们要引入半正定矩阵呢？在上面的优化问题中，我们得到的目标函数是

$\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u$

，其中

$\boldsymbol\Sigma$

是协方差矩阵。事实上，该矩阵一定是半正定矩阵。设

$\boldsymbol y$

是任一非零向量，那么

$\boldsymbol y^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol y=\boldsymbol y^{\mathrm T}\left(\sum_{i=1}^m\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol y=\sum_{i=1}^m\boldsymbol y^{\mathrm T}\boldsymbol x_i\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol y=\sum_{i=1}^m(\boldsymbol x_i^{\mathrm T}\boldsymbol y)^2 \ge 0$

根据定义，

$\boldsymbol\Sigma$

是半正定矩阵。因此，我们可以用半正定矩阵的一些性质来帮助我们求解该优化问题。这里，我们不加证明地给出一条重要性质：对于

$d$

阶对称半正定矩阵

$\boldsymbol\Sigma$

，总可以找到它的

$d$

个单位特征向量

$\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d$

，使得这些特征向量是两两正交的，也即对任意

$1\le i$

，

$j\le d$

，都有

$\Vert\boldsymbol e_i\Vert=1, \quad \boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\begin{cases}1, \quad i=j \\ 0, \quad i \ne j\end{cases}$

有兴趣的可以在线性代数的相关资料中找到该性质的证明。利用该性质，记

$\boldsymbol Q=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d)\in\mathbb R^{d\times d}$

，有

$(\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q)_{ij}=\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\mathbb I(i=j)$

于是，

$\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q$

对角线上的元素全部为1，其他元素全部为0，恰好是单位矩阵

$\boldsymbol I_d$

。因此，

$\boldsymbol Q$

的逆矩阵就是其转置，

$\boldsymbol Q^{-1}=\boldsymbol Q^{\mathrm T}$

。因为组成该矩阵的向量是相互正交的，我们将这样的矩阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。根据逆矩阵的性质，我们有

$\boldsymbol I_d=\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol Q=\boldsymbol Q\boldsymbol Q^{\mathrm T}=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d)\left(\begin{matrix}\boldsymbol e_1^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \boldsymbol e_d^{\mathrm T}\end{matrix}\right)=\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}$

设特征向量

$\boldsymbol e_i$

对应的特征值是

$\lambda_i$

，那么矩阵

$\boldsymbol\Sigma$

可以写为

$\begin{aligned} \boldsymbol\Sigma &= \boldsymbol\Sigma\boldsymbol I_d = \boldsymbol\Sigma\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T} = \sum_{i=1}^d(\boldsymbol\Sigma\boldsymbol e_i)\boldsymbol e_i^{\mathrm T} = \sum_{i=1}^d\lambda_i\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T} \\[3ex] &= (\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\cdots,\boldsymbol e_d)\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol e_1^{\mathrm T} \\ \boldsymbol e_2^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \boldsymbol e_d^{\mathrm T}\end{pmatrix} \\[2ex] &= \boldsymbol Q\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q^{\mathrm T} \end{aligned}$

其中，

$\boldsymbol\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_d)$

是由特征向量所对应的特征值依次排列而成的对角矩阵。上式表明，一个半正定矩阵可以分解成3个矩阵的乘积，其中

$\boldsymbol Q$

是其正交的特征向量构成的正交矩阵，

$\boldsymbol\Lambda$

是其特征值构成的对角矩阵，这样的分解就称为矩阵的特征分解。

利用特征分解，我们可以很容易地计算

$\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u$

的值。首先，由于

$\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_d$

是维空间中的个正交向量，

$\boldsymbol u$

一定可以唯一表示成这些向量的线性组合，即

$\boldsymbol u=\sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_i$

，其中系数

$\alpha_i$

等于向量

$\boldsymbol u$

在

$\boldsymbol e_i$

方向上的投影长度。我们可以将这组向量想象成相互垂直的坐标轴，而

$(\alpha_1,\cdots,\alpha_d)$

就相当于

$\boldsymbol u$

在这组坐标轴下的坐标。这样，

$\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u$

可以化为

$\begin{aligned} \boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol Q^{\mathrm T}\sum_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_i = \begin{pmatrix}\sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_1^{\mathrm T}\boldsymbol e_i \\ \vdots \\ \sum\limits_{i=1}^d\alpha_i\boldsymbol e_d^{\mathrm T}\boldsymbol e_i\end{pmatrix} = (\alpha_1,\cdots,\alpha_d)=\boldsymbol\alpha \end{aligned}$

这里，我们用到了

$\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j=\mathbb I(i=j)$

的性质，把求和中

$\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol e_j$

都消去了。接下来，

$\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u$

可以计算得：

$\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol Q\boldsymbol\Lambda\boldsymbol Q^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol\alpha^{\mathrm T}\boldsymbol\Lambda\boldsymbol\alpha=\sum_{i=1}^d\lambda_i\alpha_i^2$

在上面的优化问题

$\max\limits_{\boldsymbol u}\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol\Sigma\boldsymbol u \ \ \text{s.t.}\Vert\boldsymbol u\Vert=1$

中，我们还要求

$\boldsymbol u$

是方向向量，即

$\Vert\boldsymbol u\Vert=1$

。这一要求给系数

$\alpha_i$

添加了限定条件：

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^d\alpha_i^2 &= \sum_{i=1}^d(\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_i)^2=\sum_{i=1}^d\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\left(\sum_{i=1}^d\boldsymbol e_i\boldsymbol e_i^{\mathrm T}\right)\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol I_d\boldsymbol u \\ &= \boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol u = \Vert\boldsymbol u\Vert^2=1 \end{aligned}$

因此，原优化问题等价于

$\max_{\boldsymbol u}\sum_{i=1}^d\lambda_i\alpha_i^2, \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^d\alpha_i^2=1$

由于

$\boldsymbol\Sigma$

是半正定矩阵，其特征值

$\lambda_i$

必定非负，该问题的解就是

$\boldsymbol\Sigma$

的最大特征值

$\lambda_{\max}$

，不妨设其为

$\lambda_u$

。为了使上式取到最大值，应当有

$\alpha_{\boldsymbol u}=\boldsymbol u^{\mathrm T}\boldsymbol e_{\boldsymbol u}=1$

，且其他的

$\alpha_i$

全部为零。因此，使方差最大的方向就是该特征值

$\lambda_{\boldsymbol u}$

对应的特征向量

$\boldsymbol e_{\boldsymbol u}$

的方向。

上面的计算结果表面，用PCA寻找第一个主成分的过程就是求解PCA最大特征值及其对应特征向量的过程。事实上，由于协方差矩阵

$\boldsymbol\Sigma$

半正定，其所有特征向量正交，恰好也满足我们最开始“每个主成分都与之前的所有主成分正交”的要求。如果排除掉第一主成分，第二主成分就对应

$\boldsymbol\Sigma$

第二大特征值的特征向量，依次类推。因此，如果我们要把

$d$

维的数据降到

$k$

维，只需要计算

$\boldsymbol\Sigma$

最大的

$k$

个特征值对应的特征向量即可。设这

$k$

个特征向量依次为

$\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_k$

，矩阵

$\boldsymbol W=(\boldsymbol e_1,\cdots,\boldsymbol e_k)\in\mathbb R^{d\times d}$

，原数据矩阵

$\boldsymbol X=(\boldsymbol x_1\cdots,\boldsymbol x_m)^{\mathrm T}\in\mathbb R^{d\times d}$

，那么降维后的数据为

$\text{PCA}(\boldsymbol X)=\boldsymbol X\boldsymbol W$

四、动手实现PCA算法

下面，我们在NumPy库中线性代数工具的帮助下实现PCA算法。首先，我们导入数据集PCA_dataset.csv并将其可视化。数据集的每一行包含两个数

$x_1$

与

$x_2$

，代表平面上点的坐标

$(x_1,x_2)$

。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 导入数据集
data = np.loadtxt('PCA_dataset.csv', delimiter=',')
print('数据集大小：', len(data))

# 可视化
plt.figure()
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-2, 8)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

接下来，我们按上面讲解的方式实现PCA算法。numpy.linalg中提供了许多线性代数相关的工具，可以帮助我们计算矩阵的特征值与特征向量。

def pca(X, k):
    d, m = X.shape
    if d < k:
        print('k应该小于特征数')
        return X, None

    # 中心化
    X = X - np.mean(X, axis=0)
    # 计算协方差矩阵
    cov = X.T @ X
    # 计算特征值和特征向量
    eig_values, eig_vectors = np.linalg.eig(cov)
    # 获取最大的k个特征值的下标
    idx = np.argsort(-eig_values)[:k]
    # 对应的特征向量
    W = eig_vectors[:, idx]
    # 降维
    X = X @ W
    return X, W

最后，我们在数据集上测试该PCA函数的效果，并将变换后的数据绘制出来。由于原始数据只有二维，为了演示PCA的效果，我们仍然设置

$k=2$

，不进行降维。但是，从结果中仍然可以看出PCA计算的主成分方向。相比于原始数据，变换后的数据最“长”的方向变成了横轴的方向。

X, W = pca(data, 2)
print('变换矩阵：\n', W)

# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

五、用sklearn实现PCA算法

Sklearn库中同样提供了实现好的PCA算法，我们可以直接调用它来完成PCA变换。可以看出，虽然结果图像与我们上面直接实现的版本有180°的旋转，变换矩阵的元素也互为相反数，但PCA本质上只需要找到主成分的方向，因此两者得到的结果是等价的。

使用scikit-learn库中decomposition模块的PCA类可以创建PCA模型，其基本语法格式和参数说明如下。

sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, *, copy=True, whiten=False, svd_solver='auto', tol=0.0, iterated_power='auto', n_oversamples=10, power_iteration_normalizer='auto', random_state=None)

参数名称	参数说明
n_components	接收int或str。表示所要保留的主成分个数n，即保留下来的特征个数n，赋值为int时，表示降维的维度，如n_components=1，将把原始数据降到一个维度。赋值为str时，表示降维的模式，如取值为’mle’时，将自动选取特征个数n，使得满足所要求的方差百分比。默认为None。
copy	接收bool。表示是否在运行算法时，将原始训练数据复制一份。若为True，则运行后，原始训练数据的值不会有任何改变，因为是在原始数据的副本上进行运算；若为False，则运行后，原始训练数据的值会发生改变。默认为True。
whiten	接收bool。表示是否白化，使得每个特征具有相同的方差。默认为False。
svd_solver	接收{‘auto’, ‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’}，用于奇异值分解的算法。‘auto’会根据输入数据选择最佳的求解器。默认为’auto’。
tol	接收float。奇异值的容忍度。在使用’arpack’求解器时使用。默认为0.0。
iterated_power	接收int或’auto’。在使用’randomized’求解器时，幂法迭代的次数。默认为’auto’。
n_oversamples	接收int。随机SVD的过采样数量。默认值为10。
power_iteration_normalizer	接收{‘auto’, ‘LU’, ‘none’}。在幂迭代中使用的归一化方法。默认为’auto’。
random_state	接收int、RandomState实例或None。控制估计器的随机性。如果设置为固定整数，则可以确保结果的可重复性。默认为None。

from sklearn.decomposition import PCA

# 中心化
X = data - np.mean(data, axis=0)
pca_res = PCA(n_components=2).fit(X)
W = pca_res.components_.T
print ('sklearn计算的变换矩阵：\n', W)
X_pca = X @ W

# 绘图
plt.figure()
plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], color='blue', s=10)
plt.axis('square')
plt.ylim(-5, 5)
plt.grid()
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')
plt.show()

六、拓展：奇异值分解

本文介绍了数据降维的常用算法之一：PCA算法。数据降维是无监督学习的重要问题，在机器学习中有广泛的应用。由于从现实生活中采集的数据往往非常复杂，包含大量的冗余信息，通常我们必须对其进行降维，选出有用的特征供给后续模型使用。此外，有时我们还希望将高维数据可视化，也需要从数据中挑选2到3个最有价值的维度，将数据投影后绘制出来。除了PCA之外，现在常用的降维算法还有线性判别分析（linear discriminant analysis，LDA）、一致流形逼近与投影（uniform manifold approximation and projection，UMAP）、t分布随机近邻嵌入（t-distributed stochastic neighbor embedding，t-SNE）等。这些算法的特点各不相同，也有不同的适用场景。

关于PCA的计算方式，由于计算协方差矩阵

$\boldsymbol\Sigma=\boldsymbol X\boldsymbol X^{\mathrm T}$

和特征分解的时间复杂度较高，实践中通常会采用矩阵的奇异值分解（singular value decomposition，SVD）来代替特征分解。上面我们用到的sklearn库中的PCA算法就是以奇异值分解为基础的实现的。相比于特征分解，奇异值分解不需要实际计算出

$\boldsymbol\Sigma$

，并且存在更高效的迭代求解方法。感兴趣的可以查阅相关资料，了解特征分解和奇异值分解的异同。