问R中插值样条的多项式系数

EN

splines::interpSpline(x,y)$coef的输出给出了x(i)和x(i+1) 之间的多项式系数，用( x - x(i) )的幂表示，而不是x的幂，这是有意义的，因为得到的系数具有合理的大小，易于解释:例如，每个常数项都是y(i)，二次系数在x(I)处给出凹度，等等。

例如，这个输出

> x <- c(1,3,6,9)
> y <- c(3,1,4,1)
> splines::interpSpline(x,y)$coef
     [,1]        [,2]       [,3]        [,4]
[1,]    3 -1.54054054  0.0000000  0.13513514
[2,]    1  0.08108108  0.8108108 -0.16816817
[3,]    4  0.40540541 -0.7027027  0.07807808
[4,]    1 -1.70270270  0.0000000  0.00000000

意味着

• 在区间1,3上多项式是3 - 1.54054054*(x-1) + 0.13513514*(x-1)^3
• 在区间3,6上，多项式为1 + 0.08108108*(x-3) + 0.8108108*(x-3)^2 - 0.16816817*(x-3)^3
• 在区间6,9上，多项式为4 + 0.40540541*(x-6) - 0.7027027*(x-6)^2 + 0.07807808*(x-6)^3

我看不出最后一行有多大用处，它描述了数据的正确端点x=9之外的样条的线性延续。

要积分这些，并不比积分x的幂更困难，但是，如果目标是得到一个连续的反导数，当然需要选择积分常数。多项式形式的选择使得积分常数的处理变得更加容易。假设我们选择左端点值为0的反导数，其余的如下所示：

• 在区间1,3上，反导数是3*(x-1) - 1.54054054*(x-1)^2/2 + 0.13513514*(x-1)^4/4
• 在区间3,6上，反导数为C1 + 1*(x-3) + 0.08108108*(x-3)^2/2 + 0.8108108*(x-3)^3/3 - 0.16816817*(x-3)^4/4。这里，C1是x=3前一个反导数的值。
• 在区间6,9上，反导数为C2 + 4*(x-6) + 0.40540541*(x-6)^2/2 - 0.7027027*(x-6)^3/3 + 0.07807808*(x-6)^4/4。这里，C2是x=6前一个反导数的值。