【组合数学】递推方程 ( 非齐次部分是指数的情况 | 非齐次部分是指数的情况示例 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 10:31:45

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一、非齐次部分是指数的情况

常系数线性非齐次递推方程 :

$H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)$

$n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0$

上述方程左侧与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是

$0$

, 而是一个基于

$n$

的函数

$f(n)$

, 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

非齐次部分是指数的情况 :

如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的非齐次部分

$f(n)$

是指数函数 ,

$\beta^n$

如果

$\beta$

不是特征根 ,

则非齐次部分的特解形式为 :

$H^*(n) = P\beta^n$

$P$

是常数 ;

将上述特解

$H^*(n) = P\beta^n$

, 代入递推方程 , 求解出常数

$P$

的值 , 进而得到了完整的特解 ;

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是

$H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)$

使用上述解出的特解 , 与递推方程齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;

二、非齐次部分是指数的情况示例

递推方程 :

$a_n = 6a_{n-1} + 8^{n-1}$

初值 :

$a_1=7$

第一步 , 先求出该递推方程非齐次部分对应的特解 ,

递推方程的标准形式是 :

$a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1}$

非齐次部分是

$8^{n-1}$

因此其特解的形式是

$a^*n = P 8^{n-1}$

, 其中

$P$

是常数 ;

将特解代入上述递推方程 :

$P 8^{n-1} - 6P 8^{n-2} = 8^{n-1}$

在

$6P 8^{n-2}$

项乘以

$8$

变成

$6P8^{n-1}$

, 再除以

$8$

变成

$\cfrac{6P8^{n-1}}{8}=\cfrac{3P8^{n-1}}{4}$

, 代入等式中 ,

$P 8^{n-1} - \cfrac{3P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}$

$\cfrac{P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}$

$\cfrac{P}{4} = 1$

$P = 4$

特解中的常数项

$P=4$

, 最终特解为

$a^*n = 4\times 8^{n-1}$

第二步 , 求出齐次部分的通解

递推方程的标准形式是 :

$a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1}$

齐次部分是

$a_n - 6a_{n-1} = 0$

写出特征方程 :

$x - 6 = 0$

特征根

$q= 6$

写出齐次部分通解形式 :

$\overline{a_n} = c \times 6^n$

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是

$a_n = \overline{a_n} + a^*n$

递推方程通解是 :

$a_n = c \times 6^n + 4\times 8^{n-1}$

第三步 , 代入初值, 求出最终通解

代入初值

$a_1 = 7$

到上述通解中得到

$c \times 6^1 + 4 \times 8^{1-1} = 7$

$6c + 4 = 7$

$c=\cfrac{1}{2}$

$a_n = c \times 6^n + 4\times 8^{n-1}$

通解中的常数常数

$c=\cfrac{1}{2}$

, 将常数代入 ,

通解为

$a_n = \cfrac{1}{2} \times 6^n + 4\times 8^{n-1}$

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原始发表：2020-10-24，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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