【作者主页】Francek Chen
【专栏介绍】
PyTorch深度学习 深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。
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我们已经学习了如何用小批量随机梯度下降训练模型。然而当实现该算法时，我们只考虑了通过前向传播 （forward propagation）所涉及的计算。在计算梯度时，我们只调用了深度学习框架提供的反向传播函数，而不知其所以然。
梯度的自动计算（自动微分）大大简化了深度学习算法的实现。在自动微分之前，即使是对复杂模型的微小调整也需要手工重新计算复杂的导数，学术论文也不得不分配大量页面来推导更新规则。本节将通过一些基本的数学和计算图，深入探讨反向传播 的细节。首先，我们将重点放在带权重衰减（
L_2 正则化）的单隐藏层多层感知机上。
一、前向传播 前向传播 （forward propagation或forward pass）指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。
我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制，为了简单起见，我们假设输入样本是
\mathbf{x}\in \mathbb{R}^d ，并且我们的隐藏层不包括偏置项。这里的中间变量是：
\mathbf{z}= \mathbf{W}^{(1)} \mathbf{x} \tag{1} 其中
\mathbf{W}^{(1)} \in \mathbb{R}^{h \times d} 是隐藏层的权重参数。将中间变量
\mathbf{z}\in \mathbb{R}^h 通过激活函数
\phi 后，我们得到长度为
h 的隐藏激活向量：
\mathbf{h}= \phi (\mathbf{z}) \tag{2} 隐藏变量
\mathbf{h} 也是一个中间变量。假设输出层的参数只有权重
\mathbf{W}^{(2)} \in \mathbb{R}^{q \times h} ，我们可以得到输出层变量，它是一个长度为
q 的向量：
\mathbf{o}= \mathbf{W}^{(2)} \mathbf{h} \tag{3} 假设损失函数为
l ，样本标签为
y ，我们可以计算单个数据样本的损失项：
L = l(\mathbf{o}, y) \tag{4} 根据
L_2 正则化的定义，给定超参数
\lambda ，正则化项为
s = \frac{\lambda}{2} \left(\|\mathbf{W}^{(1)}\|_F^2 + \|\mathbf{W}^{(2)}\|_F^2\right) \tag{5} 其中矩阵的Frobenius范数是将矩阵展平为向量后应用的
L_2 范数。最后，模型在给定数据样本上的正则化损失为：
J = L + s \tag{6} 在下面的讨论中，我们将
J 称为目标函数 （objective function）。
二、前向传播计算图 绘制计算图 有助于我们可视化计算中操作符和变量的依赖关系。图1是与上述简单网络相对应的计算图，其中正方形表示变量，圆圈表示操作符。左下角表示输入，右上角表示输出。注意显示数据流的箭头方向主要是向右和向上的。
图1 前向传播的计算图
三、反向传播 反向传播 （backward propagation或backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。简言之，该方法根据微积分中的链式规则 ，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。假设我们有函数
\mathsf{Y}=f(\mathsf{X}) 和
\mathsf{Z}=g(\mathsf{Y}) ，其中输入和输出
\mathsf{X}, \mathsf{Y}, \mathsf{Z} 是任意形状的张量。利用链式法则，我们可以计算
\mathsf{Z} 关于
\mathsf{X} 的导数
\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{X}} = \text{prod}\left(\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{Y}}, \frac{\partial \mathsf{Y}}{\partial \mathsf{X}}\right) \tag{7} 在这里，我们使用
\text{prod} 运算符在执行必要的操作（如换位和交换输入位置）后将其参数相乘。对于向量，这很简单，它只是矩阵-矩阵乘法。对于高维张量，我们使用适当的对应项。运算符
\text{prod} 指代了所有的这些符号。
回想一下，在计算图1中的单隐藏层简单网络的参数是
\mathbf{W}^{(1)} 和
\mathbf{W}^{(2)} 。反向传播的目的是计算梯度
\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)} 和
\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)} 。为此，我们应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为我们需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。第一步是计算目标函数
J=L+s 相对于损失项
L 和正则项
s 的梯度。
\frac{\partial J}{\partial L} = 1 \; , \; \frac{\partial J}{\partial s} = 1 \tag{8} 接下来，我们根据链式法则计算目标函数关于输出层变量
\mathbf{o} 的梯度：
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial L}, \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}} \in \mathbb{R}^q \tag{9} 接下来，我们计算正则化项相对于两个参数的梯度：
\frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \lambda \mathbf{W}^{(1)} \; , \; \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}} = \lambda \mathbf{W}^{(2)} \tag{10} 现在我们可以计算最接近输出层的模型参数的梯度
\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)} \in \mathbb{R}^{q \times h} 。使用链式法则得出：
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}= \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right)= \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} \mathbf{h}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(2)} \tag{11} 为了获得关于
\mathbf{W}^{(1)} 的梯度，我们需要继续沿着输出层到隐藏层反向传播。关于隐藏层输出的梯度
\partial J/\partial \mathbf{h} \in \mathbb{R}^h 由下式给出：
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{h}}\right) = {\mathbf{W}^{(2)}}^\top \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} \tag{12} 由于激活函数
\phi 是按元素计算的，计算中间变量
\mathbf{z} 的梯度
\partial J/\partial \mathbf{z} \in \mathbb{R}^h 需要使用按元素乘法运算符，我们用
\odot 表示：
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}}, \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{z}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} \odot \phi'\left(\mathbf{z}\right) \tag{13} 最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度
\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)} \in \mathbb{R}^{h \times d} 。根据链式法则，我们得到：
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}}, \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} \mathbf{x}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(1)} \tag{14} 四、训练神经网络 在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。
以上述简单网络为例：一方面，在前向传播期间计算正则项（式(5)）取决于模型参数
\mathbf{W}^{(1)} 和
\mathbf{W}^{(2)} 的当前值。它们是由优化算法根据最近迭代的反向传播给出的。另一方面，反向传播期间参数（式(11)）的梯度计算，取决于由前向传播给出的隐藏变量
\mathbf{h} 的当前值。
因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后，我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致内存不足 （out of memory）错误。
小结 前向传播在神经网络定义的计算图中按顺序计算和存储中间变量，它的顺序是从输入层到输出层。 反向传播按相反的顺序（从输出层到输入层）计算和存储神经网络的中间变量和参数的梯度。 在训练深度学习模型时，前向传播和反向传播是相互依赖的。 训练比预测需要更多的内存。 
