【现代深度学习技术】卷积神经网络 | 从全连接层到卷积

Francek Chen

发布于 2025-02-18 12:45:02

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我们之前讨论的多层感知机十分适合处理表格数据，其中行对应样本，列对应特征。对于表格数据，我们寻找的模式可能涉及特征之间的交互，但是我们不能预先假设任何与特征交互相关的先验结构。此时，多层感知机可能是最好的选择，然而对于高维感知数据，这种缺少结构的网络可能会变得不实用。

例如，在之前猫狗分类的例子中：假设我们有一个足够充分的照片数据集，数据集中是拥有标注的照片，每张照片具有百万级像素，这意味着网络的每次输入都有一百万个维度。即使将隐藏层维度降低到1000，这个全连接层也将有

10^6 \times 10^3 = 10^9

个参数。想要训练这个模型将不可实现，因为需要有大量的GPU、分布式优化训练的经验和超乎常人的耐心。

有些读者可能会反对这个观点，认为要求百万像素的分辨率可能不是必要的。然而，即使分辨率减小为十万像素，使用1000个隐藏单元的隐藏层也可能不足以学习到良好的图像特征，在真实的系统中我们仍然需要数十亿个参数。此外，拟合如此多的参数还需要收集大量的数据。然而，如今人类和机器都能很好地区分猫和狗：这是因为图像中本就拥有丰富的结构，而这些结构可以被人类和机器学习模型使用。卷积神经网络（convolutional neural networks，CNN）是机器学习利用自然图像中一些已知结构的创造性方法。

一、不变性

想象一下，假设我们想从一张图片中找到某个物体。合理的假设是：无论哪种方法找到这个物体，都应该和物体的位置无关。理想情况下，我们的系统应该能够利用常识：猪通常不在天上飞，飞机通常不在水里游泳。但是，如果一只猪出现在图片顶部，我们还是应该认出它。我们可以从儿童游戏”沃尔多在哪里”（如图1所示）中得到灵感：在这个游戏中包含了许多充斥着活动的混乱场景，而沃尔多通常潜伏在一些不太可能的位置，读者的目标就是找出他。尽管沃尔多的装扮很有特点，但是在眼花缭乱的场景中找到他也如大海捞针。然而沃尔多的样子并不取决于他潜藏的地方，因此我们可以使用一个“沃尔多检测器”扫描图像。该检测器将图像分割成多个区域，并为每个区域包含沃尔多的可能性打分。卷积神经网络正是将空间不变性（spatial invariance）的这一概念系统化，从而基于这个模型使用较少的参数来学习有用的表示。

图1 沃尔多游戏示例图

现在，我们将上述想法总结一下，从而帮助我们设计适合于计算机视觉的神经网络架构。

平移不变性（translation invariance）：不管检测对象出现在图像中的哪个位置，神经网络的前面几层应该对相同的图像区域具有相似的反应，即为“平移不变性”。
局部性（locality）：神经网络的前面几层应该只探索输入图像中的局部区域，而不过度在意图像中相隔较远区域的关系，这就是“局部性”原则。最终，可以聚合这些局部特征，以在整个图像级别进行预测。

让我们看看这些原则是如何转化为数学表示的。

二、多层感知机的限制

首先，多层感知机的输入是二维图像

\mathbf{X}

，其隐藏表示

\mathbf{H}

在数学上是一个矩阵，在代码中表示为二维张量。其中

\mathbf{X}

和

\mathbf{H}

具有相同的形状。为了方便理解，我们可以认为，无论是输入还是隐藏表示都拥有空间结构。

使用

[\mathbf{X}]_{i, j}

和

[\mathbf{H}]_{i, j}

分别表示输入图像和隐藏表示中位置（

）处的像素。为了使每个隐藏神经元都能接收到每个输入像素的信息，我们将参数从权重矩阵（如同我们先前在多层感知机中所做的那样）替换为四阶权重张量

\mathsf{W}

。假设

\mathbf{U}

包含偏置参数，我们可以将全连接层形式化地表示为

\begin{aligned} \left[\mathbf{H}\right]_{i, j} &= [\mathbf{U}]_{i, j} + \sum_k \sum_l[\mathsf{W}]_{i, j, k, l} [\mathbf{X}]_{k, l}\\ &= [\mathbf{U}]_{i, j} + \sum_a \sum_b [\mathsf{V}]_{i, j, a, b} [\mathbf{X}]_{i+a, j+b} \tag{1}\end{aligned}

其中，从

\mathsf{W}

到

\mathsf{V}

的转换只是形式上的转换，因为在这两个四阶张量的元素之间存在一一对应的关系。我们只需重新索引下标

(k, l)

，使

k = i+a

、

l = j+b

，由此可得

[\mathsf{V}]_{i, j, a, b} = [\mathsf{W}]_{i, j, i+a, j+b}

。索引

和

通过在正偏移和负偏移之间移动覆盖了整个图像。对于隐藏表示中任意给定位置（

）处的像素值

[\mathbf{H}]_{i, j}

，可以通过在

中以

(i, j)

为中心对像素进行加权求和得到，加权使用的权重为

[\mathsf{V}]_{i, j, a, b}

。

（一）平移不变性

现在引用上述的第一个原则：平移不变性。这意味着检测对象在输入

\mathbf{X}

中的平移，应该仅导致隐藏表示

\mathbf{H}

中的平移。也就是说，

\mathsf{V}

和

\mathbf{U}

实际上不依赖于

(i, j)

的值，即

[\mathsf{V}]_{i, j, a, b} = [\mathbf{V}]_{a, b}

。并且

\mathbf{U}

是一个常数，比如

。因此，我们可以简化

\mathbf{H}

定义为：

[\mathbf{H}]_{i, j} = u + \sum_a\sum_b [\mathbf{V}]_{a, b} [\mathbf{X}]_{i+a, j+b} \tag{2}

这就是卷积（convolution）。我们是在使用系数

[\mathbf{V}]_{a, b}

对位置

(i, j)

附近的像素

(i+a, j+b)

进行加权得到

[\mathbf{H}]_{i, j}

。注意，

[\mathbf{V}]_{a, b}

的系数比

[\mathsf{V}]_{i, j, a, b}

少很多，因为前者不再依赖于图像中的位置。这就是显著的进步！

（二）局部性

现在引用上述的第二个原则：局部性。如上所述，为了收集用来训练参数

[\mathbf{H}]_{i, j}

的相关信息，我们不应偏离到距

(i, j)

很远的地方。这意味着在

|a|> \Delta

或

|b| > \Delta

的范围之外，我们可以设置

[\mathbf{V}]_{a, b} = 0

。因此，我们可以将

[\mathbf{H}]_{i, j}

重写为

[\mathbf{H}]_{i, j} = u + \sum_{a = -\Delta}^{\Delta} \sum_{b = -\Delta}^{\Delta} [\mathbf{V}]_{a, b} [\mathbf{X}]_{i+a, j+b}\tag{3}

简而言之，式(3)是一个卷积层（convolutional layer），而卷积神经网络是包含卷积层的一类特殊的神经网络。在深度学习研究社区中，

\mathbf{V}

被称为卷积核（convolution kernel）或者滤波器（filter），亦或简单地称之为该卷积层的权重，通常该权重是可学习的参数。当图像处理的局部区域很小时，卷积神经网络与多层感知机的训练差异可能是巨大的：以前，多层感知机可能需要数十亿个参数来表示网络中的一层，而现在卷积神经网络通常只需要几百个参数，而且不需要改变输入或隐藏表示的维数。参数大幅减少的代价是，我们的特征现在是平移不变的，并且当确定每个隐藏活性值时，每一层只包含局部的信息。以上所有的权重学习都将依赖于归纳偏置。当这种偏置与现实相符时，我们就能得到样本有效的模型，并且这些模型能很好地泛化到未知数据中。但如果这偏置与现实不符时，比如当图像不满足平移不变时，我们的模型可能难以拟合我们的训练数据。

三、卷积

在进一步讨论之前，我们先简要回顾一下为什么上面的操作被称为卷积。在数学中，两个函数（比如

f, g: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}

）之间的“卷积”被定义为

(f * g)(\mathbf{x}) = \int f(\mathbf{z}) g(\mathbf{x}-\mathbf{z}) d\mathbf{z} \tag{4}

也就是说，卷积是当把一个函数“翻转”并移位

\mathbf{x}

时，测量

和

之间的重叠。当为离散对象时，积分就变成求和。例如，对于由索引为

\mathbb{Z}

的、平方可和的、无限维向量集合中抽取的向量，我们得到以下定义：

(f * g)(i) = \sum_a f(a) g(i-a) \tag{5}

对于二维张量，则为

的索引

(a, b)

和

的索引

(i-a, j-b)

上的对应加和：

(f * g)(i, j) = \sum_a\sum_b f(a, b) g(i-a, j-b) \tag{6}

这看起来类似于式(3)，但有一个主要区别：这里不是使用

(i+a, j+b)

，而是使用差值。然而，这种区别是表面的，因为我们总是可以匹配式(3)和式(6)之间的符号。我们在式(3)中的原始定义更正确地描述了互相关（cross-correlation），这个问题将在下一节中讨论。

四、“沃尔多在哪里”回顾

回到上面的“沃尔多在哪里”游戏，让我们看看它到底是什么样子。卷积层根据滤波器

\mathbf{V}

选取给定大小的窗口，并加权处理图片，如图2中所示。我们的目标是学习一个模型，以便探测出在“沃尔多”最可能出现的地方。

图2 发现沃尔多

通道

然而这种方法有一个问题：我们忽略了图像一般包含三个通道/三种原色（红色、绿色和蓝色）。实际上，图像不是二维张量，而是一个由高度、宽度和颜色组成的三维张量，比如包含

1024 \times 1024 \times 3

个像素。前两个轴与像素的空间位置有关，而第三个轴可以看作每个像素的多维表示。因此，我们将

\mathsf{X}

索引为

[\mathsf{X}]_{i, j, k}

。由此卷积相应地调整为

[\mathsf{V}]_{a,b,c}

，而不是

[\mathbf{V}]_{a,b}

。

此外，由于输入图像是三维的，我们的隐藏表示

\mathsf{H}

也最好采用三维张量。换句话说，对于每一个空间位置，我们想要采用一组而不是一个隐藏表示。这样一组隐藏表示可以想象成一些互相堆叠的二维网格。因此，我们可以把隐藏表示想象为一系列具有二维张量的通道（channel）。这些通道有时也被称为特征映射（feature maps），因为每个通道都向后续层提供一组空间化的学习特征。直观上可以想象在靠近输入的底层，一些通道专门识别边缘，而一些通道专门识别纹理。

为了支持输入

\mathsf{X}

和隐藏表示

\mathsf{H}

中的多个通道，我们可以在

\mathsf{V}

中添加第四个坐标，即

[\mathsf{V}]_{a, b, c, d}

。综上所述，

[\mathsf{H}]_{i,j,d} = \sum_{a = -\Delta}^{\Delta} \sum_{b = -\Delta}^{\Delta} \sum_c [\mathsf{V}]_{a, b, c, d} [\mathsf{X}]_{i+a, j+b, c} \tag{7}

其中，隐藏表示

\mathsf{H}