浮点数精度问题透析:小数计算不准确+浮点数精度丢失根源

在知乎上上看到如下问题：

浮点数精度问题的前世今生？

1.该问题出现的原因 ？

2.为何其他编程语言，比如java中可能没有js那么明显

3.大家在项目中踩过浮点数精度的坑？

4.最后采用哪些方案规避这个问题的？

5.为何采用改方案？

例如在 chrome js console 中：

alert(0.7+0.1); //输出0.7999999999999999

之前自己答的不是满意（对 陈嘉栋的回答 还是满意的），想对这个问题做个深入浅出的总结

再看到这几篇长文《[ JS 基础 ] JS 浮点数四则运算精度丢失问题 (3)》、《JavaScript数字精度丢失问题总结》、《细说 JavaScript 七种数据类型》，略有所悟，整理如下：

这个问题并不只是在Javascript中才会出现，任何使用二进制浮点数的编程语言都会有这个问题，只不过在 C++/C#/Java 这些语言中已经封装好了方法来避免精度的问题，而 JavaScript 是一门弱类型的语言，从设计思想上就没有对浮点数有个严格的数据类型，所以精度误差的问题就显得格外突出。

浮点数丢失产生原因

JavaScript 中的数字类型只有 Number 一种，Number 类型采用 IEEE754 标准中的 “双精度浮点数” 来表示一个数字，不区分整数和浮点数 (js位运算或许是为了提升B格)。

几乎所有的编程语言浮点数都是都采用IEEE浮点数算术标准。java float 32 浮点数:  1bit符号  8bit指数部分 23bit尾数。推荐阅读《JAVA 浮点数的范围和精度》

什么是IEEE-745浮点数表示法

IEEE-745浮点数表示法是一种可以精确地表示分数的二进制示法，比如1/2，1/8，1/1024

十进制小数如何表示为转为二进制

十进制整数转二进制

十进制整数换成二进制一般都会：1=>1 2=>10 3=>101 4=>100 5=>101 6=>110   

6/2=3…0

3/2=1…1

1/2=0…1

倒过来就是110

十进制小数转二进制

0.25的二进制

0.25*2=0.5 取整是0

0.5*2=1.0    取整是1

即0.25的二进制为 0.01 ( 第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位)

0.8125的二进制

0.8125*2=1.625   取整是1

0.625*2=1.25     取整是1

0.25*2=0.5       取整是0

0.5*2=1.0        取整是1

即0.8125的二进制是0.1101（第一次所得到为最高位,最后一次得到为最低位）

0.1的二进制

0.1*2=0.2======取出整数部分0

0.2*2=0.4======取出整数部分0

0.4*2=0.8======取出整数部分0

0.8*2=1.6======取出整数部分1

0.6*2=1.2======取出整数部分1

0.2*2=0.4======取出整数部分0

0.4*2=0.8======取出整数部分0

0.8*2=1.6======取出整数部分1

0.6*2=1.2======取出整数部分1

接下来会无限循环

0.2*2=0.4======取出整数部分0

0.4*2=0.8======取出整数部分0

0.8*2=1.6======取出整数部分1

0.6*2=1.2======取出整数部分1

所以0.1转化成二进制是：0.0001 1001 1001 1001…（无限循环）

0.1 => 0.0001 1001 1001 1001…（无限循环）

同理0.2的二进制是0.0011 0011 0011 0011…（无限循环）

IEEE-745浮点数表示法存储结构

在 IEEE754 中，双精度浮点数采用 64 位存储，即 8 个字节表示一个浮点数 。其存储结构如下图所示：

指数位可以通过下面的方法转换为使用的指数值：

IEEE-745浮点数表示法记录数值范围

从存储结构中可以看出， 指数部分的长度是11个二进制，即指数部分能表示的最大值是 2047（2^11-1）

取中间值进行偏移，用来表示负指数，也就是说指数的范围是 -1023,1024 。

因此，这种存储结构能够表示的数值范围为 2^1024 到 2^-1023 ，超出这个范围的数无法表示 。2^1024  和 2^-1023  转换为科学计数法如下所示：

1.7976931348623157 × 10^308

5 × 10^-324

因此，JavaScript 中能表示的最大值是 1.7976931348623157 × 10308，最小值为 5 × 10-324 。java双精度类型 double也是如此。

这两个边界值可以分别通过访问 Number 对象的 MAX_VALUE 属性和 MIN_VALUE 属性来获取：

Number.MAX_VALUE; // 1.7976931348623157e+308
Number.MIN_VALUE; // 5e-324

如果数字超过最大值或最小值，JavaScript 将返回一个不正确的值，这称为 “正向溢出(overflow)” 或 “负向溢出(underflow)” 。 

Number.MAX_VALUE+1 == Number.MAX_VALUE; //true
Number.MAX_VALUE+1e292; //Infinity
Number.MIN_VALUE + 1; //1
Number.MIN_VALUE - 3e-324; //0
Number.MIN_VALUE - 2e-324; //5e-324

IEEE-745浮点数表示法数值精度

在 64 位的二进制中，符号位决定了一个数的正负，指数部分决定了数值的大小，小数部分决定了数值的精度。

IEEE754 规定，有效数字第一位默认总是1 。因此，在表示精度的位数前面，还存在一个 “隐藏位” ，固定为 1 ，但它不保存在 64 位浮点数之中。也就是说，有效数字总是 1.xx...xx 的形式，其中 xx..xx 的部分保存在 64 位浮点数之中，最长为52位 。所以，JavaScript 提供的有效数字最长为 53 个二进制位，其内部实际的表现形式为：

(-1)^符号位 * 1.xx...xx * 2^指数位

这意味着，JavaScript 能表示并进行精确算术运算的整数范围为：-2^53-1，2^53-1，即从最小值 -9007199254740991 到最大值 9007199254740991 之间的范围 。

Math.pow(2, 53)-1 ; // 9007199254740991
-Math.pow(2, 53)-1 ; // -9007199254740991

可以通过 Number.MAX_SAFE_INTEGER 和  Number.MIN_SAFE_INTEGER 来分别获取这个最大值和最小值。 

console.log(Number.MAX_SAFE_INTEGER) ; // 9007199254740991
console.log(Number.MIN_SAFE_INTEGER) ; // -9007199254740991

对于超过这个范围的整数，JavaScript 依旧可以进行运算，但却不保证运算结果的精度。

Math.pow(2, 53) ; // 9007199254740992
Math.pow(2, 53) + 1; // 9007199254740992
9007199254740993; //9007199254740992
90071992547409921; //90071992547409920
0.923456789012345678;//0.9234567890123456

IEEE-745浮点数表示法数值精度丢失

计算机中的数字都是以二进制存储的，二进制浮点数表示法并不能精确的表示类似0.1这样 的简单的数字

如果要计算 0.1 + 0.2 的结果，计算机会先把 0.1 和 0.2 分别转化成二进制，然后相加，最后再把相加得到的结果转为十进制 

但有一些浮点数在转化为二进制时，会出现无限循环 。比如， 十进制的 0.1 转化为二进制，会得到如下结果：

0.1 => 0.0001 1001 1001 1001…（无限循环）

0.2 => 0.0011 0011 0011 0011…（无限循环）

而存储结构中的尾数部分最多只能表示 53 位。为了能表示 0.1，只能模仿十进制进行四舍五入了，但二进制只有 0 和 1 ， 于是变为 0 舍 1 入 。 因此，0.1 在计算机里的二进制表示形式如下：

0.1 => 0.0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 101

0.2 => 0.0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 001

用标准计数法表示如下：

0.1 => (−1)0 × 2^4 × (1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010)2

0.2 => (−1)0 × 2^3 × (1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010)2 

在计算浮点数相加时，需要先进行 “对位”，将较小的指数化为较大的指数，并将小数部分相应右移：

最终，“0.1 + 0.2” 在计算机里的计算过程如下：

经过上面的计算过程，0.1 + 0.2 得到的结果也可以表示为：

(−1)0 × 2−2 × (1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)2=>.0.30000000000000004

通过 JS 将这个二进制结果转化为十进制表示：

(-1)**0 * 2**-2 * (0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2**-52); //0.30000000000000004

console.log(0.1 + 0.2) ; // 0.30000000000000004

这是一个典型的精度丢失案例，从上面的计算过程可以看出，0.1 和 0.2 在转换为二进制时就发生了一次精度丢失，而对于计算后的二进制又有一次精度丢失 。因此，得到的结果是不准确的。

浮点数丢失解决方案

我们常用的分数（特别是在金融的计算方面）都是十进制分数1/10，1/100等。或许以后电路设计或许会支持十进制数字类型以避免这些舍入问题。在这之前，你更愿意使用大整数进行重要的金融计算，例如，要使用整数‘分’而不是使用小数‘元’进行货比单位的运算

即在运算前我们把参加运算的数先升级(10的X的次方)到整数，等运算完后再降级(0.1的X的次方)。

在java里面有BigDecimal库，js里面有big.js js-big-decimal.js。当然BCD编码就是为了十进制高精度运算量制。

BCD编码

BCD编码(一般指8421BCD码形式)亦称二进码十进数或二-十进制代码。用4位二进制数来表示1位十进制数中的0~9这10个数。一般用于高精度计算。比如会计制度经常需要对很长的数字串作准确的计算。相对于一般的浮点式记数法，采用BCD码，既可保存数值的精确度，又可免去使电脑作浮点运算时所耗费的时间。

为什么采用二进制

1. 二进制在电路设计中物理上更易实现，因为电子器件大多具有两种稳定状态，比如晶体管的导通和截止，电压的高和低，磁性的有和无等。而找到一个具有十个稳定状态的电子器件是很困难的。
2. 二进制规则简单，十进制有55种求和与求积的运算规则，二进制仅有各有3种，这样可以简化运算器等物理器件的设计。另外，计算机的部件状态少，可以增强整个系统的稳定性。
3. 与逻辑量相吻合。二进制数0和1正好与逻辑量“真”和“假”相对应，因此用二进制数表示二值逻辑显得十分自然。
4. 可靠性高。二进制中只使用0和1两个数字，传输和处理时不易出错，因而可以保障计算机具有很高的可靠性

我觉得主要还是因为第一条。如果比如能够设计出十进制的元器件，那么对于设计其运算器也不再话下。

JS数字精度丢失的一些典型问题

两个简单的浮点数相加

0.1 + 0.2 != 0.3 // true

toFixed 不会四舍五入（Chrome）

1.335.toFixed(2) // 1.33

再问问一个问题 ：在js数字类型中浮点数的最高精度多少位小数？（16位 or 17位？……why？

1. JavaScript 能表示并进行精确算术运算的整数范围为：-2^53-1，2^53-1，即从最小值 -9007199254740991 到最大值 9007199254740991 之间的范围。'9007199254740991'.length//16 
2. IEEE754 规定，有效数字第一位默认总是1 。因此，在表示精度的位数前面，还存在一个 “隐藏位” ，固定为 1 ，但它不保存在 64 位浮点数之中。也就是说，有效数字总是 1.xx...xx 的形式，其中 xx..xx 的部分保存在 64 位浮点数之中，最长为52位 。所以，JavaScript 提供的有效数字最长为 53 个二进制位

let a=1/3

a.toString();//"0.3333333333333333"

a.toString();.length//18

a*3===0.3333333333333333*3===1

0.3333333333333332*3!==1

相关链接：  

http://0.30000000000000004.com

http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html

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