估值调整 - 时间调整

时间调整（Timing Adjustment）在以下情况产生：当一个市场变量 Y 在时点 T 观察到并用 Y(T) 计算支付函数，但支付发生在观察时点 T 后的时点 M (M > T)。

那么从 T 远期测度下到 M 远期测度下的 RN 衍生物为

那么和变量 Y(T) 挂钩的金融产品的现值为

以上推导涉及到测度转化，详细介绍参考〖量化金融十大课题 (下)〗一贴。

接下来，我们通过非利率产品、和 LIBOR 挂钩的利率产品，和 CMS 挂钩的利率产品来讲解时间调整。

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非利率产品

对于非利率产品，比如外汇、商品和权益产品，利率风险因子对产品估值的影响远不如其他风险因子对其估值影响大。因此为了简化问题，我们通常假设利率不是随机变量，上面估值公式中的 P(T, M) 也不是随机变量，可从期望符号中提出来。此外，远期测度也就是风险中性测度，我们可以把期望符号上标符号去掉。

假设利率是随机变量，用 F(t, T, M) 表示从 T 到 M 付息频率为 m 的远期利率，那么 P(T, M) = 1/(1+F/m)m(M-T)。这时我们需要推出风险因子 S(t) 在 M 远期测度下的 SDE 的漂移项 μ。构建 S(t)/P(t,M) 变量，它和远期利率 F 在 M 远期测度下是鞅，因此 d(S/P) 和 dF 的漂移项为零。S 和 F 在 M 远期测度下的的 SDE 可写成

我们目标是为了推导出 μ，根据伊藤定理展开 d(S/P)，而关注点在 dt 项前面的系数。

因为 S/P 是鞅，那么漂移项为 0，解得

风险因子 S(T) 在 M 和 T 远期测度下的期望的关系如下，两者的差异就是时间调整。

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和 LIBOR 挂钩的利率产品

LIBOR-in-Arrears

LIBOR 在 T 时点定盘，在 M 时点到期，

在普通利率到期（IRS）中，和 LIBOR 挂钩的现金流在 M 时点支付（先定盘后支付），而在 LIBOR-in-arrears (LIA) 中，和 LIBOR 挂钩的现金流在 T 时点支付（同时定盘和支付）。

用 L(T) 代表 L(T; T, M)，用 τ 代表时点 M 和时点 T 之间的年限（通常用 act/360 惯例），我们得到

上式从第二行到第三行的推导理由如下图所示：

现在只需要求出在 M 测度下 L2(T) 的期望。首先 M 测度下 L(t) 是鞅（漂移项是零）并服从以下的 SDE

其中 σ 是 ATM caplet 波动率。

将 L(T) 带入 VLIA(0) 公式中得出

LIBOR-with-Delay

考虑完 LIA 的现金流之后，我们再看一个更通用的和 LIBOR 挂钩的现金流，它可以发生在定盘日 T 之后的任意时点 Tp。该类型的现金流叫做 LIBOR-with-delay (LD)。下图比较 IRS 现金流，LIA 现金流和 LD 现金流。

在 Tp 远期测度下，LD 现金流的现值为

在期望符号里面只有 P(T, Tp) 不能写成 L(T) 的函数，我们可以用 Terminal Swap Rate (TSR) 模型将两者建立一个函数关系。TSR 模型通常在支付函数中有额外的零息债表达式 P(T, ·) 时使用，基本建模思想就是把零息债用远期利率 L(T) 或掉期利率 S(T) 来表示，这样可将支付函数化简成只含 L(T) 或 S(T)。

方法一：用 Swap-Yield 类型的 TSR 模型来表示 P(T, Tp)

上述公式在 Tp = M 和 Tp = T 的两个特殊情况下是合理的。

将 P(T, Tp) 带入 VLD(0) 表达式得到

在不用带期限结构的利率模型下，求解该期望不是很容易，在业界中更常用的 Linear Swap Rate 模型。

方法二：用 Linear Swap Rate 类型的 TSR 模型来表示 P(T, Tp)/P(T, M)

参数 a 和 b(Tp) 的推导如下。

带入 VLD 表达式中做进一步的化简：

当 Tp = M 时（IRS）和当Tp = T 时（LIA），VLD(0) 确实化简成两个特殊情况

LIBOR Average Swap

在市场上一般没有 LIBOR-with-Delay 这样的金融产品，但是它们可以作为组成其他产品的基本元素，比如均值掉期（Average Swap, AS）。均值掉期的现金流是在 Tp 时点支付一段时间内的 LIBOR，其现值的公式如下

上面求和每一项都是一个 LIBOR-with-Delay 的现金流，可以用上面描述的 TSR 模型的方法来计算。

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和 CMS 挂钩的利率产品

利率产品挂钩的指标主要有两个：LIBOR 和 CMS，前者是远期利率（forward rate），后者是掉期利率（swap rate）。前者也可以看成是后者的一种特殊情况，即 LIBOR 是只有一期的 CMS。

CMS 全称是 Constant Maturity Swap，注意该掉期利率 Sn,m(t) 的分母是年金 An,m(t)，因此 Sn,m(t) 在年金测度 QA 是鞅，在任何的远期测度下都不是鞅。

用 S(t) 代表 Sn,m(t)，A(t) 代表 An,m(t)，求 S(T) 在 Tp 时点的期望有两个调整项：

1. 凸性调整：从年金测度 QA 到 T 远期测度
2. 时点调整：从 T 远期测度到 Tp 远期测度

在实际估值中，我们索性一步到位，从年金测度 QA 直接到 Tp 远期测度。

类比 LIBOR-with-Delay的现金流，我们来看看 CMS-with-Delay 的支付在 T­p 的现金流的计算方法。在 Tp 远期测度下，该现金流的现值为

我们可用 Linear Swap Rate类型的 TSR 模型来表示 P(T, Tp)/A(T)

参数 a 和 b(Tp) 的推导如下。

带入 VCMS 表达式中做进一步的化简：

式中 σ 是 ATM Swaption 波动率。

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总结

到目前三种类型的估值调整已经全部讲完，我们总结一下：

• 凸性调整：在风险中性测度和远期测度下变量的差异
• Quanto 调整：在货币一测度和货币二测度下变量的差异
• 时间调整：在 T1 远期测度和 T2 远期测度下变量的差异

之所以要做调整，本质上是因为变量在不同测度下的值不同，因此量化这些调整需要测度变换（change of measure），这是下帖的内容。

前方高能温馨小贴士：下帖的数学推导密度相当高。Be Prepared！

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