机器学习数学笔记|期望方差协方差矩阵

演化计算与人工智能

发布于 2020-08-14 03:21:58

1.9K0

本博客为七月在线邹博老师机器学习数学课程学习笔记为七月在线打 call!!课程传送门[1]

简单概率计算

我们的思路是,若 A 先到达则假设 A 是一条长 1cm 的线段.B 出现的概率是一个点,我们只需要让 B 这个点落在 A 这条线段上即可.同理,若 B 先到达,则假设 B 是一条长 2cm 的线段,A 出现的概率是一个点,我们需要让 A 落在 B 这条线段上即可.

离散型E(x)=\sum_{i}X_{i}P_{i}

连续型E(x)=\int^{\infty}_{-\infty}xf(x)dx

E(kX)=kE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(XY)=E(X)E(Y)

反之不成立,事实上,若 E(XY)=E(X)E(Y)只能说明 X 和 Y不相关.

从 1,2, 3,...98,99,2015 这 100 个数中任意选择若干个数(可能为 0 个数)求异或,试求异或的期望值.
1. 关于异或问题的计算,首先要将其转化为二进制数的形式.
2. 其次把握异或的计算法则,异或加法不进位,并且两位取 0,不同取 1.两两计算,两数相加之和与第三个数进行计算.
3. 此题中由于最后一个数最大,所以我们把其作为标准.将其作为第一个加数以二进制展开.

Var(X)=E{[X-E(X)]^{2}}=E(X^{2})-E^{2}(X)

Var(c)=0

Var(X+c)=Var(X)

Var(kX)=k^{2}Var(X)

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)

Cov(X_{1}+X_{2},Y)=Cov(X_{1},Y)+Cov(X_{2},Y)

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

若Var(X)=\sigma_{1}^{2},Var(Y)=\sigma_{2}^{2}

则|Cov(X,Y)|\leq\sigma_{1}\sigma_{2}

当且仅当X和Y之间有线性关系时,等号成立(Var()表示方差)

因为上述定理的保证,使得"不相关"事实上即"线性独立"
- 即:若 X 与 Y 不相关,说明 X 和 Y 之间没有线性关系(但是有可能存在其他函数关系),不能保证 X 和 Y 相互独立.
- 但是 X 和 Y 独立一定是不相关
但是对于二维正态随机变量,X 与 Y 不相关等价于 X 与 Y 相互独立.