【集合论】集合概念与关系 ( 真子集 | 空集 | 全集 | 幂集 | 集合元素个数 | 求幂集步骤 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 09:57:40

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一、真子集

真子集 :

描述 :

A, B

$A , B$

两个集合 , 如果

A

$A$

集合是

B

$B$

集合的子集 , 并且

A \neq B

$A \not= B$

, 则称

A

$A$

是

B

$B$

的真子集 ,

B

$B$

真包含

A

$A$

;

记作 :

A \subset B

$A \subset B$

符号化表示 :

A \subset B

$A \subset B$

\Leftrightarrow

$\Leftrightarrow$

A \subseteq B \land A \neq B

$A \subseteq B \land A \not= B$

非真子集 :

描述 :

A

$A$

集合不是

B

$B$

集合的真子集 ;

记作 :

$A \not\subset B$

符号化表示 :

$A \not\subset B$

$\Leftrightarrow$

$\exist x ( x \in A \land x \not\in B ) \land A \not= B$

( 存在元素

$x$

是集合

$A$

的元素 , 不是集合

$B$

的元素 , 并且

$A , B$

不相等 , 则

$A$

不是

$B$

的真子集 )

真包含关系性质 :

反自反性 :

$A \not\subset A$

反对称性 : 如果

$A \subset B$

, 那么

$B \not\subset A$

传递性 : 如果

$A \subset B$

, 并且

$B \subset C$

, 那么

$A \subset C$

二、空集

空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为空集 ;

记作 :

$\varnothing$

空集示例 :

$A = \{ x | x^2 + 1 = 0 \land x \in R \}$

$R$

是实数集合 , 上述

$x$

明显无解 , 集合也为空集 ;

空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;

空集推论 : 空集是唯一的 ;

三、全集

全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作

$E$

;

全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;

全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;

( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )

四、幂集

幂集描述 :

$A$

是一个集合 ,

$A$

集合的全体子集组成的集合称为

$A$

的幂集 ;

记作 :

$P(A)$

符号化表述 :

$P(A) = \{ x | x \subseteq A \}$

五、集合元素个数

集合元素个数 :

$0$

元集 :

$\varnothing$

$1$

元集 : 含有

$1$

个元素的集合 , 又称为单元集 ;

$2$

元集 : 含有

$2$

个元素的集合 ;

$\vdots$

$n$

元集 : 含有

$n$

个元素的集合 ; (

$n \geq 1$

)

有穷集 :

$|A|$

表示集合

$A$

中的元素个数 , 如果

$A$

集合中的元素个数是有限数时 , 那么称该

$A$

集合为有穷集 , 或有限集 ;

幂集个数定理 : 集合

$A$

中的元素个数

$|A| = n$

, 则

$A$

的幂集个数

$|P(A)| = 2^n$

;

六、求幂集步骤

求幂集步骤 : 求集合

$A$

的幂集 , 需要按照顺序求

$A$

集合中由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;

低到高元的所有子集 :

$0$

元集 ,

$1$

元集 ,

$2$

元集 ,

$\cdots$

$n$

元集 ;

集合

$A = \{ a, b , c \}$

$0$

元集 :

$\varnothing$

$1$

元集 :

$\{ a \}$

$\{ b \}$

$\{ c \}$

$2$

元集 :

$\{ a, b \}$

$\{ a, c \}$

$\{ b, c \}$

$3$

元集 :

$\{ a, b, c \}$

集合

$A$

的幂集是 :

$P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ b, c \} , \{ a, b, c \} \}$

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原始发表：2020-09-29，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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