1.12.椭圆曲线运算法则：点加和二倍原创

这节课讲椭圆曲线运宽法则，变加200。嗯，这个运算法则都是基于短的方程。Y平方同于X立方加X+BP。MP是一个大叔叔。而1K1。是Y平方同1X立方加7。我们可以看一下HCVK的参数。这个参数有好几个。嗯，都都是需要。都都是需要了解的。是，是一个非常大的数数，这个数数的值不，不需要去背它，只是需需要了解它的含义。它是坐标点的有限率，意思就是X的值和Y的值都是。

必须小于P的。而A和B自然就是转了Y二次式方程里面的A和B的参数。嗯。NN等于这这一大口的数字，这也是一个数数。嗯，它代表是11的个数，12个数减一。C波数是N-1。嗯，N多了，多了一个就是因为多了一个5000万元的，五千万元的并没有算在410里面。煤气。微信这个。在在这个椭圆曲线里面，这个默认的就是1并，并没有其他含义。嗯，GXGY是是坐标点，也就是X符合XOY的这这个方程的坐标点。

并且另令是要唯一。嗯，这这个是人为规定的。下面我们就可以看一下点加运算7加扣。这个是什么含义呢？就直接上，直接上图。嗯，PP加克意思就是。7和Q连伸直线，然后延伸出去，然后和椭圆曲线相交于R这个点。AI.关于X轴的对称点就就是P加后。这这个是规规定的加法运算，跟传统的呃，比如说向量的计算，这个肯定是不一样的。嗯，这个这个怎么运算呢？就就是这红色的部分这个K你可以当成斜率。

K=Y2-Y1÷X2-X1。然后X3=K平方减X1-X2。Y3等于。KBAA1-X3。括号。嗯，括号外边减Y1。这个我们直接看一下代码。嗯。代码K。这个是Y坐标，Y坐标之差除以X坐标之差。然后RX也就是X3=K平方减X1-X2。然后另外一个就计算Y的值的。这个跟。等价于Y3=K倍，又是1-X3。

括号，然后括号外面减Y1。这样。嗯，T加克的坐标点就可算出来了。嗯，P是，P和克都是坐标点，而P加克也是坐标点，这是什么含义呢？这个。就主要是私钥的问题，这个P假设P的私钥是S1 Q的私钥是S2，那么P+Q的C2就是S1+SS2，这个model n,注，注意这个地方不并不是Mo p了，S Mo n.因为这个参数里面。C才跟C要有关，这个P是只跟坐标点的计算也有关，也就是跟只跟XY有关。

点点加的X跟XY嗯，都有关，这这是什么含义呢？And.这这些都是根据这几个公式直接写下来的。我们直接看一下结果。我们可以看到X3。等有两个X3。说明了什么？说明了X3。不，不仅仅跟X1和X有关，还跟Y有关。嗯，再再看另外一个，这个是算外三的。这个外山呢，可以看到这个。很大一头了。这个外山，其中一个外山，这是第二个外山。这说明这个。

外山的坐标的。它不仅仅跟Y2和Y1有关，还跟S有关。也就说明点加到Y跟XY和Y都有关的。下面看2倍的运算。二百零算是是怎么回事呢？这个这个2倍的二倍点运算，主要是解决P加扣这个不不能运算的问题。7加科的就主要是。当两个点重合的时候。这个。Y2-Y1X2-X1X2-X为0啊，这个也就是无意义，所以只能通过。2倍点运算去解决。

你可以把K当成斜率去看这个图像。这个。这个P和R这这个直线，这个在P这个地方，就是P点的切线，然后和。和椭圆曲线相交于r.R点关于对称点就是2P。嗯，公式，公式就是红色的部分，这个代码也可以看一下。嗯。2批的。首先是计算斜率，这个斜率是这个。K=3X的平方加A÷2Y2倍Y1。这个地方差不多也是这样的，然后计算。X的坐标X3=K平方减2X。

这个地方看起来也差不多了，然后再计算坐标。Y3=KV。X1-X3，然后括号外边减Y1。嗯，这这个地方差不多烟也是这样的，这样呢，就把。2P的坐标点算出来了。P是坐标点，AP同样是坐标点。但但这个是什么含义呢？就假设P的要是X。那么2P的C就是2S。嗯，其中X是整数。注意这个地方摸摸的N的时候。他并并不是没得，是没得。这个时刻需要记住。然后再看这个，求X之少二倍，二倍，点X只跟X有关，这是什么含义？

这个我们直接根据这几个公式套。然后把Y给全部消掉。来看一下X3等于什么，我们可以看到。这X3只跟1有关。也就是说跟万是没有关系的。同样求Y的时候，2倍点的Y只跟Y有关。就就是我们也可以看一下公式。我们可以看到外餐。二三年等于这。只跟外衣有关。还跟。X11点关系都没有。所，所以求Y200点的Y值跟Y有关。嗯。根根据私钥计算公钥。

按规定这个G的C21。9SD。上面讲的是P加克和2P，并没有。就是当X如果大于等于，如果是当当X>2的时候。并没有这样的公式。所以我们需要采用额外的方法去解决。这个方法也叫大的2的方法，或者叫二进制拆解法。对2对S进行二进制裁剪。嗯，我们看一个十进制的13，也就是当X=13的时候。嗯，变成二进制就是1101，大概也就等于8+4+1。然后13g等于。

我们从右边往左边看。就是第一位是1，所以1×1g，然后第二位是0。这个1GB变成2g的，然后它因为它是0，所以就是0×2g。然后再看第3位。第三位就2级可能就变成4g了。因为他是，所以就是一层的司机，然后再到最后一位。1。这个4g就变成8g了，然后8g1×8g。这个1g2g4g8g，这个可以通过。2倍点的公式去算A加号。加号就可以根据PQ的运算去计算，这样就就可以把SG给算出来。

这个SG它也是一个坐标点。嗯，这是一个非常的运算，这是一个多项式的算法。嗯，根据私钥算出膏要是非常快的。然后我们再看一个折班的运算。这是这是什么意思呢。我们之前讲过2倍运算。但是这折半运算不不知道怎么算，这个我们。可以根据这这个。这个方法去计算。这个1/2，你可可以把1/2的乘法利润给求出来。乘方6元就就变成了一个整数，注意是没的N，而不是的P。我们可以看到这个。

这个就是求他。2的1/2的乘方里面就是一个很长的整数，然后。然后就。这一大头整数乘以P。就是走办预算。假设。Two.Q=P÷2。那么。P就等于。这这这等式肯定是成立的。And.嗯，看看一下代码。这个P夹克2P。都已经讲过了。然后。这个P，那自然就是对S进线2进的拆减。就是这个地方。

我们可以看一下代码。这个地方。这个是自定义的椭圆区间，Y平方等于X立方加7的79这个。几大参数。这个几几大参数，不不是随意写的。这个A和B，这个0和7。然后P=79 N=67。这这个这个是经过我的测试呃，才写上去的，并并不是随意写输出就行。然后H它肯定是等于1的。GXD是符合椭圆曲线上的点。这，这也不是随便写的。然后这个自定义椭圆曲线参数一写好了，然后就直接调用。

电科的方法。然后把根据私钥算出公钥，我们可以看一下结果。我们可以看到。这66个点都计算出来了。嗯。凭什么坐标点是这个样子，我们看第一个点。呃，最后一个点。X是一样的。然后Y63+16=79，刚好就等于P。这说明初步验证是正确的。如如何进一步验证呢？那我们就通过第二个例子。嗯，第二个例子用的就是那。

这B256KE1。这个里面用到了比特币里面的函数就是b t cec.这个这个库是。BTCBTCD,圆码里面的图形曲线的计算。这，这肯定是正确的。我们看一下对，出去看一下对一下结果，如果出现验证成功了，是说明是对的。我们看一下运行记录。我们可以看到最终是验证成功了，并且打印了前前。前1000个点的坐标点。这第一个参数，第一个数字是吃药。这打印出来是1~1000的私钥，然后之后的就是。

坐标点X和坐标点Y。