本质上已证明！张益唐关于朗道-西格尔零点猜想的最详笔记

来自 | 新智元 作者 | 编辑部

一支马克笔，一张小白板。

刚刚，张益唐教授现身北大，在B站的直播平台上，给广大网友上了一堂大师级数学课。

授课内容大家都知道了，就是最近张教授刚刚取得的新突破：朗道-西格尔零点猜想问题。

这是张益唐亲自对自己前不久的那篇论文的全面解析。

全程40分钟，无废话无尿点，硬核知识拉满，信息密度极大。

文字实录

首先，我得介绍一下这个问题本身。

虽然我的论文已经挂到aXiv上了，但还是得介绍一下：什么叫朗道-西格尔零点呢？

对于这个狄利克雷L函数，L(s,χ)的原始定义是这样的：

分子是χ(n)这个值，分母就是n的s次方。

此时，我们只考虑s是个实数的时候，也就是说s=1的时候，它不等于0。那么s＜1的时候，就是说比1稍微小一点， 它有没有可能等于0？

这个问题因为牵扯到很多数论的东西，所以很重要，但始终没有人能够解决。

只考虑L(s,χ)不等于0的情况——

如果s比1稍微小一点，这个分母是比较可控的，c是个常数

这是一个猜想，我们说这个猜想比黎曼假设要弱得多，至少是对L函数的黎曼猜想（广义黎曼猜想）。广义黎曼猜想是说这个S的实部大于1/2的话不等于0，但就只是很接近1的时候不等于0。

这个猜想本质上说就是朗道-西格尔零点问题。

这个问题，就是要证明这样的一类零点是不存在的（尤其是实零点，虚零点还容易一点）。

那么现在我们能做到什么程度呢？应该说本质上我们至少证明了这样一个东西

这个2024就像孪生素数里面的情况一样，是可以改进的。

前两天消息刚传出来的时候，很多人不是做数学的，所以不理解这个朗道-西格尔零点问题解决的是什么，甚至有人以为就是证明了黎曼假设是错的。

这个我得说一句：我可没有这个本事（笑）。我只是在一定范围内部分地证明了黎曼假设应该是对的。如果说我推翻了黎曼假设，那应该是没什么人会相信。

在这篇论文第二节的结尾，我引进了三个proposition，都是不等式。这三个不等式合在一起后，如果说朗道-西格尔零点存在的话，就可以得出一个矛盾。

而这个讲起来就是一个非常非常复杂的东西，要讲清楚也不容易，但是我可以讲一讲，这里面它的一个基本思路，讲一下它最后的归结。最后就是归结到这样一个事情上——

怎么会归结到这个事情上呢？

对于一个有限的实数序列χn，怎么样证明它并不是非负的？

这就是要去证明其中有一个（至少有一个）χn是小于0的。

说起来这个问题是什么呢？有点不着边际。

但事实上很有意思，在数论中，特别是解析中，很多东西可以归结到这么一个问题。

于是我们就需要发展一个技巧，来证明这个东西是不等于0的。

第一个例子，我们就说一个偶数N（一个比较大的偶数），我们用ρ(n)定义这个素数的特征函数，都是定义在正整数上。

如果n是素数，ρ(n)等于1，如果n不是素数，ρ(n)就等于0。

就可以得到：

我们说这个序列会什么样？

一般情况下，它可能等于1，也可能等于0， 但它有没有可能是负的呢？

很明显如果ρ(n)是负的，它必须等于-1，而且他负的充要条件是ρ(n)和ρ(N-n)都是素数。这时候χn才可能是负的，正好等于-1。

很明显，N永远是等于n+(N-n)，也就是N就是一个素数加上另外一个素数。

就是说如果在这个序列（1＜n＜N）里，有某一个χn是小于0的话，充要条件是N是两个素数的和。

所以哥德巴赫猜想最后就可以归结到我们来构建这样一个有限序列，这里头是不是有这么一个小于0的数？如果有的话，哥德巴赫猜想就是对的。

那么，是不是还有别的问题也是这样呢？

其实假如我们对孪生素数猜想给出一个弱结果，那么也会是这样的，也就是造成这么一个χn。

它这个定义也是:

如果这里面有两个是素数，那么χn就严格小于0；如果只有一个素数，那么就等于0；如果没有就大于0。

所以在这样一个序列里面，我们可以人为地把n的范围给它确定，里面有没有负的？这就是我们在孪生素数研究下取得的突破。我们的出发点就是这个东西。

话再说回来，怎么样去证明某一个χn是小于0，我们就给出了一个很简单的数列，哪怕里面有10000个数，我们也可以写出来这里面是不是有一个是负的，这很简单。

但我们这里考虑的都是理论性的问题，N是一个很大的数，怎么样去定义这个东西等于0。

这是第一个例子。实际上它既包括了哥德巴赫猜想，也包括了孪生素数弱结果的研究。

第二个例子是一个纯公式的例子，它跟我要做的事情是相关的。

如果有一个Assumption，我们就假定ρ(n+1)>ρn+c——

也就是说零点的间隔比c要大，那么我们也可以把它归结成——

其中，f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。

为什么这么说呢？因为随便一个ρn，从ρn到ρn+c之间，他一定没有零点。而ρn+a和ρn+b一定在这段之间，因为f是连续函数，所以他们的乘积一定是大于等于0的。

所以如果我们要证明assumption是不对的，可能有零点的间隔比c要小。如果我能够证明有一个χn是负的，只要证明它≤0，那这个assumption就错了。

如果我想证明的话，我就得去弄。

那么究竟我们需要怎么处理这个问题呢？

要证明有限的实数序列不是非负的，里面至少有一个是严格小于0的，怎么去证明呢？

我们常用的处理方法是这样：

我们找一组新的实数序列{yn}，它要满足两个条件。第一：yn≥0，第二个：∑xnyn＜0。只要能找到这样一组yn，这问题就解决了。

那这里头肯定有一项是严格小于0的，但yn是大于等于0，那么xn必须是小于0的。这就解决了传统要去做的事情。

可是怎么去选yn呢？这就牵扯到整个筛法发展的历史了。

最早是挪威数学家Brown在一个世纪前，应该在1917、18年的时候他找到了一组yn。这组yn的表述是很复杂的，但满足这类条件。

然后他用这个条件能推出9+9，在当时来讲是不可思议的，是一个惊人的构造。

后来，到了20世纪40年代末，另外一个挪威数学家叫塞尔伯格，他想得就比较简单，他说干脆我就去构造一组实数序列zn，zn是实数就行，没有任何限制。

然后把yn取成zn平方，于是第一个条件就自然满足了——实数的平方必然是大于等于0的。

于是问题就变成了，能不能得出下式小于0？

这里要牵扯到孪生素数猜想最近的进步，特别是梅纳德最近的贡献（他最近得了菲尔兹数学奖）。

xn的取值与孪生数有关，我们希望这里面至少有一个是负的，然后是求和。

在我之前有三个数学家，他们找到一组zn，能够证明这个和非常切近0，并且可以做到让ε任意小。

但是小于0这一步他们怎么也跨不过去。

而这里的主要障碍就是，他们要用到素数在等差级数里的分布，那里头有个限制就是有一个exponent指数，它不能超过1/2，否则余项就控制不住。

于是他们就跨在这个边上，用他们的话来说差一根头发丝就能跨过去了，但这个头发丝就没跨过去。

然后再下一步是我的工作：

我的工作从单独意义上来讲，在等差级数分布的问题上，应该是第一次突破了指数等于1/2的界限，就是说可以把这个指数取到比1/2再大一点。但我用的zn基本上还是他们引进的。

后来梅纳德就把这个问题改进了一大步，他引进了一种新的zn，最后能够证出这个孪生素数的弱形式，最后我们都是归结到这样一个不等式。

下面我们再回到朗道-西格尔零点，

我们也去构造像例2中实的连续函数，如果两个点中间没有零点的话，它们就是同号，它们的乘积应该就是非负的。

在论文的引理2.3中，我给出了这么一个东西，那么我就是要证明这么一个事情——

如果存在朗道-西格尔零点，就推出：

我想证明这个东西：

是错的，也就是说我能证明：

这个里面有一个是负的话，就可以了。

我花了很长时间，去证明下面这个结果是小于0的。

我找了很多很多这样的东西，发现一些非常有意思的事情：我没能直接证明它是小于0的，但我发现对很多zn它接近0。

它会小于一个ε乘上一个东西，而这个ε可以尽量小，我发现很多这样的zn。所以就差一点。

当孪生素数猜想出来时，有人说我是大海捞针。但实际上不太对，孪生素数实际上我没有去捞什么针。

但是去找这个zn，我确实是在大海捞针。

我试了很多很多东西，包括用到像变分法啊，用积分方程去找最大特征根啊，最后都是有一个问题：你可以在不同角度去找zn，找出来以后都是小于一个ε乘上一个数字，但这个ε你就是跨不过去，有点像我在做孪生素数时那样。

那最后是怎么去解决的呢？

这里我就想提到我在一开始给出的第一个公式。我的一个最初的想法，就是最关键的一步，我为什么能达到一个这样的证明。

第一步，我找到两组序列，都可以写成是这种形式——

这两组序列我都可以证明……（这里还是把它写出实数形式）

这个东西我不能证明它小于0，实际上严格算它就是不小于0，但可以证明它非常接近于0。

同时呢，我也可以证明对于cn和dn，下面这个结果也是接近于0的。

而且呢，证明这两个关系式虽然看起来结果是一样的，但证明的方法是完全不一样的，是两种完全不同的treatment。

于是，我们又有一种方式证明这个东西接近0，但不能证明它小于0。

那么这两组序列有没有可能发生冲突呢？有冲突，就能给出一个矛盾。于是我就用了这样一个关系式。

出发点我们还是假定xn大于等于0。

然后我们用这样一个关系式，也就是一开始写的那个。

因为这个χn是非负的，χn我们就不需要取绝对值了。

我们再用这个关系式取一个绝对值，这里可以全部都取绝对值，减号就变成加号了。

我们有这样一个关系式，但是我们可以证明，实际上可以假定χn是非负的，我们可以用柯西不等式来估计下面这个的上界。

最后我们发现我们得到一个矛盾（算这个和不如用柯西不等式），我们发现算这个东西是不对的，左边应该是比右边的更大，于是用这个方式就推出矛盾来了。

大家有兴趣的话可以翻译一下我这篇文章，在第二节最后，我是用三个proposition就把它给弄下来了，然后剩下的就是去证明那三个proposition。

我们考虑一下数论的历史，一开始我们总是有这样的问题，要去构造一个yn。第一个条件是，这个yn必须是非负的，或者什么样，然后它乘以χn，加起来要小于0，要去构造这样一个yn。

最早是Brown在1718年 ，用默比乌斯函数的组合来构造出这样一个东西。

后来自从Selburg之后，yn就取成zn的平方，这个东西一直沿用下来。

当时我在做孪生素数猜想，我们也知道，yn等于zn平方，它只是一个能够保证它大于等于0的充分条件，但不是必要条件，还有没有别的形式 ？

有很多人想过，但目前为止没有人想出来（yn不是这个平方的形式）。

在我在这里，似乎有一种新的办法（更复杂），实际上我是引进了4个序列。

最后如果这些χn都是大于0，我能推出矛盾来。

今天我就先讲到这儿，这个东西作为介绍性的，我也只能讲得比较初等一点。

PS：如有错误，欢迎在留言中指正。

论文浅析

在这篇最新的论文中，张益唐教授提出了两个定理。

第一，对于L(1,χ)的估计：

第二，可能存在的西格尔零点不大于：

其中，c1和c2都是正实数，且与D无关。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2211.02515

此前，张益唐教授证明朗道-西格尔零点猜想的论文已经广泛流传，由于全篇涉及解析数论等硬核知识，对于广大网友的理解门槛还是相当高的。

论文公布之后，来自知乎、B站、微博等媒体平台的各路专业人士和UP主的解读也为数不少了。

比如B站知识区UP「钰子一」对这篇论文结论的初步解读：

他的看法是，在假定张益唐教授的证明是正确的情况下（因为论文目前尚未经同行评议），这篇论文确实是距离证明真正的「零点猜想」最近的一次突破性成果。

下面是真正的「朗道-西格尔零点猜想」：

注意非零域的范围，最后一项的指数为-1。

张益唐教授这次在论文中成功证明的定理1和定理2，其中2是1的推论：

Theorem 1 If is a real primitive character to the modulus , then

where is an absolute, effectively computable constant.

Theorem 2 If is a real primitive character to the modulus , then

for

where is an absolute, effectively computable constant.

可以看到，定理2的最后一项的指数为-2024，而原始的「零点猜想」的指数为-1。

换句话说，这是目前关于朗道-西格尔零点猜想问题上，已证结论和待证的「终极目标」之间，距离最近的一次。

张益唐教授在文末表示，这个-2024的指数值，可以取得更大一些，但目前按照论文中的思路，可能取不到-1。

除了热心网友的粗浅解析，来自山东大学的解析数论专家在「张益唐教授谈朗道-西格尔零点猜想研究的新突破」中，也对张益唐教授这次的工作进行了专业角度的解析。

由于全体模D的狄利克雷特征（Dirichlet character）的适当线性组合，可以表示出模D算术级数的计数函数。因此，狄利克雷L-函数（Dirichlet L-series）与算术级数中的素数分布问题密切相关。

对于固定的狄利克雷特征，黎曼ζ函数的解析性质大多容易推广到相应的狄利克雷L-函数上去。比如当特征是复特征时，其L-函数与黎曼ζ函数有类似的非零区域：

但是，当特征是实原特征时，在区间

内至多可能存在一个一阶实零点，这里c是一个适当的正常数。

张益唐教授在最新预印本论文里证明了，模D的实原特征L-函数在区间

内没有实零点，这里c是绝对实效正常数。如果把这里的2024换成1，就得到原始形式的朗道-西格尔零点猜想。

专家指出，2024虽然大于1，但在数学意义上，与1并没有实质性的差别。

朗道-西格尔零点猜想

1859年，德国数学家黎曼在论文「论小于给定数值的素数个数」中，首次提及这个猜想。

黎曼发现，质数的分布跟某个函数有着密切关系：

这个公式中，s是复数，可以写成s=a+bi这样的形式（a是s的实部、b是s的虚部、i则是根号负一）。

当s的实部小于1时，整个级数和可能会发散。为了让函数适用于更广的范围，黎曼把上面的ζ函数改写为：

当s为负偶数（s= -2, -4, -6…）时，黎曼ζ函数为零。这些s的值，就称为平凡零点。

不过，此外还有另一些s的值，能够让黎曼ζ函数为零，它们被称为非平凡零点。就是这些非平凡零点，对质数的分布有着决定性影响。

到了这里，黎曼本人也无法证明了。

不过他做了一个猜测：黎曼ζ函数所有非平凡零点的实部都是1/2，或者说黎曼ζ函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。这就是黎曼猜想。

随后的数学家们，在前人的基础上继续前进。

为此，数学家狄利克雷引入了狄利克雷L函数。

对于这个函数，也有一个猜想：狄利克雷L函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。这就是广义黎曼猜想。

倪忆在文章「千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文」中解释道，如果χ(n)的取值都是实数，那么L(s,χ)在

里最多只有一个零点，而且这个零点一定是实数。这个可能存在的零点被称为西格尔零点。而朗道-西格尔零点猜想则断言，西格尔零点是不存在的。

更确切地说，存在一个正实数c，使得对于任何D和相应的实特征χ，L(x,χ)在

时都不等于0。

倪忆表示，朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊情形，但这是一种非常重要也非常困难的情形。在很多解析数论问题的研究中，都需要把西格尔零点单独拿出来考虑。

所以一旦证明了朗道-西格尔零点猜想，就可以取得很多新突破，简化和加强很多经典数论结果。

特别鸣谢：

普林小虎队「千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文」

https://mp.weixin.qq.com/s/OgOsgp2wklSw86LQSnpuAA

山东大学「张益唐教授谈朗道-西格尔零点猜想研究的新突破」

https://mp.weixin.qq.com/s/AuRZOk_yx_dJC2pys9bUMg

钰子一科普张益唐关于朗道-西格尔零点猜想的文章！「他取得了突破性的进展，结论十分漂亮！」

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