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吴大正信号与系统-频域分析总结

云深无际

发布于 2024-10-11 11:29:44

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吴大正的书现在来看是真不错，奥本海姆让我迷失在了知识的海洋。反而现在看这种国内教科书的感觉非常好。

先信号与系统，后连续系统的时域分析，离散系统的时域分析，傅里叶变变换和系统的频域分析。

因为是新的学科，简单的总结出现的名傅里叶变换: 将时域信号转换为频域信号的数学工具。

时域: 描述信号随时间变化的特性。
频域: 描述信号的频率成分。
微分: 表示函数在某一点的变化率。
积分: 表示函数在一段区间内的累积量。
时域微分: 对时域信号求导。
时域积分: 对时域信号求积分。
频域微分: 对频谱函数求导（通常不直接操作）。
频域积分: 对频谱函数求积分（通常不直接操作）。
角频率: 描述振荡频率的物理量。
虚数单位: 表示虚数的单位。
狄拉克δ函数: 一个理想化的脉冲函数。
滤波: 通过改变信号的频谱成分来改变信号的特性。

概念解释

时域微分和频域的关系: 时域微分对应频域乘以 jω，表示高频成分被增强。
时域积分和频域的关系: 时域积分对应频域除以 jω，表示高频成分被衰减。
狄拉克δ函数的作用: 在频域积分中，狄拉克δ函数引入了一个常数项，表示直流成分。

一开始会总结一下前面的一些重要知识，书里面很离散。

先高后低

一直长高到平缓

Pn是脉冲，f(t)是任意的激励，这个就是卷积公式推导使用的图

f(t)所引起的响应就是所有冲击函数单独作用的响应之和

分别给出了-1,0,1时刻冲激引起的响应

卷积计算有着良好的代数性质

冲激函数的卷积就是自己的本身

自相关函数表示一个信号与自身延迟后的版本的相似性。它反映了信号的周期性、平稳性等特性。

噪声抑制: 利用信号的自相关函数，可以提取出信号的周期成分，从而抑制噪声。
信号检测: 通过计算信号与已知信号的互相关函数，可以检测信号中是否存在特定的模式。
系统辨识: 利用系统的输入输出信号的互相关函数，可以估计系统的冲激响应。

离散系统的时域分析！！！

单位序列

移位公式

加上移位的单位序列

单位阶跃

阶跃有一堆哦

在信号与系统中，反卷积（deconvolution）是指给定一个信号和一个已知的系统冲激响应，求解出原始输入信号的过程。换句话说，就是将一个信号“还原”到其被系统卷积之前的状态。

数学表达:假设输入信号为x(t)，系统冲激响应为h(t)，输出信号为y(t)，则卷积过程可以表示为：

y(t) = x(t) * h(t)

反卷积的目标就是找到一个信号x'(t)，使得：

y(t) * h'(t) ≈ x(t)

其中，h'(t)是h(t)的逆滤波器。

不适定问题: 反卷积通常是一个不适定问题，即解可能不唯一或者对噪声非常敏感。反卷积过程往往会放大噪声，导致恢复的信号质量下降。
逆滤波器的不稳定性: 当系统冲激响应的频谱在某些频率上接近于零时，逆滤波器会放大噪声，导致解不稳定。
计算复杂度高: 特别是对于高维信号，反卷积的计算量非常大。

这里的这个表示有点怪

这个上面说是虚指数函数

指数型傅里叶级数

Fn是系数了

就是这个地方的F函数有点怪，Fe^jwt是一个虚指数函数了

虚指数函数是指指数部分为纯虚数的函数，即形如 e^(jwt) 的函数，其中：

e: 自然对数的底数
j: 虚数单位，即根号-1
w: 角频率，表示信号的频率

复指数形式的正弦波: 虚指数函数与正弦波和余弦波有着密切的关系。根据欧拉公式，我们可以将虚指数函数展开为：

e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)

虚指数函数实际上是正弦波和余弦波的线性组合。

频域分析: 在傅里叶变换中，虚指数函数作为基函数，可以将时域信号分解为不同频率的正弦波的线性组合。

周期性: 虚指数函数是周期函数，其周期为 2π/w。

微分性质: 虚指数函数的导数仍为虚指数函数，且形式非常简单：

d/dt(e^(jwt)) = jw * e^(jwt)

傅里叶变换: 虚指数函数的傅里叶变换具有冲激函数的形式.

核心就是正交的分解

这个是周期信号的分解-实周期的信号

方波信号-傅里叶级数

这个就是俩种旋转方式

指数型傅里叶级数的几何含义

先来回顾一下傅里叶级数的本质。傅里叶级数的核心思想是将一个周期函数分解为一系列不同频率的正弦函数和余弦函数的线性组合。从几何角度来看，我们可以把这些正弦函数和余弦函数看作是不同频率的旋转向量。

简化计算和表示，引入了指数形式的傅里叶级数。根据欧拉公式，我们可以将正弦函数和余弦函数表示为复指数函数的形式：

e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)

其中，j是虚数单位，w是角频率。

复平面上的旋转向量: 每个复指数项e^(jwt)都可以看作是复平面上一个旋转向量。随着时间的推移，这个向量以角速度w绕原点旋转。向量的大小代表了该频率分量的幅值，而向量的相位则代表了该频率分量的初相。
傅里叶级数的合成: 一个周期函数的傅里叶级数可以看作是无数个不同频率、不同幅值和相位的旋转向量的合成。这些旋转向量在复平面上进行叠加，最终合成出原函数的波形。
频谱: 傅里叶级数的系数可以看作是频谱的幅值和相位。这些系数表示了原函数在不同频率上的成分。在复平面上，频谱可以表示为一个复数，其模表示幅值，其辐角表示相位。

傅里叶级数就像是一个乐队，每个乐手演奏一个频率的音符。通过调整每个乐手的音量（幅值）和演奏的起始时间（相位），乐队可以演奏出各种各样的曲子。

指数型傅里叶级数的几何意义在于将周期函数分解为一系列旋转向量。这些旋转向量在复平面上进行叠加，最终合成出原函数的波形。

傅里叶级数-系数求解

傅里叶级数-三种表达方式(双三角，余弦，复指数）

这是最基础的三个级数表达方式。

周期信号的频谱

周期信号分解成一系列正弦信号之和

以频率为横和相位,周期信号也就被唯一地表只要确定了这些频率分量的幅值得到的图就是频谱。其中以幅值为纵坐标的图称为幅度坐标,分别以幅值、相位为纵坐标谱。谱,以相位为纵坐标的图称为相位谱。

一般情况下不论对对复信号而言,其仅具有指型傅里叶级数,故频谱无单双边方实信号还是复信号,常使用指数傅里叶级数的频谱。

这是一个实信号

需要转换成COS

细节来了，SIN和COS之间的转换。

相差π/2: SIN 函数和 COS 函数的图形形状完全相同，只是在横轴上相差了 π/2（90度）。
数学表示:
- sin(x) = cos(x - π/2)
- cos(x) = sin(x + π/2)
复指数形式: 欧拉公式将指数函数与三角函数联系起来：
- e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
- e^(-ix) = cos(x) - i*sin(x)
推导SIN和COS:
- sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
- cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
平方关系: sin²x + cos²x = 1
和角公式、差角公式: 利用和角公式和差角公式，可以将SIN和COS函数的和差转化为单个函数。
平移: 将SIN函数的图像向右平移π/2个单位，就得到了COS函数的图像。
对称: SIN函数和COS函数关于直线x = π/4对称。

角频率

定义: 角频率ω（omega）是单位时间内振动的弧度数，表示旋转运动的快慢。
单位: rad/s（弧度每秒）
与普通频率f的关系: ω = 2πf，其中f为普通频率，单位为Hz。
物理意义: 角频率直观地反映了信号振动的快慢。

基波角频率

定义: 对于周期信号，基波角频率ω₀是构成该周期信号的基波（频率最低的谐波）的角频率。
意义: 基波角频率是周期信号的一个重要特征，它决定了信号的周期。
谐波: 谐波是频率为基波频率整数倍的分量。

单边谱和双边谱

傅里叶变换: 傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，即频谱。
单边谱:
- 定义: 只包含非负频率成分的频谱。
- 特点: 直观，符合人们对频率的通常理解。
- 适用范围: 主要用于表示实信号的频谱。
- 局限性: 不能完全反映信号的全部信息，因为负频率成分被忽略了。
双边谱:
- 定义: 包含正负频率成分的频谱。
- 特点: 能完整地表示信号的频谱信息。
- 适用范围: 适用于复信号和实信号。
- 物理意义: 负频率成分通常与正频率成分相共轭，反映了信号的相位信息。
实信号的单边谱和双边谱: 对于实信号，其双边谱关于纵轴对称。单边谱是双边谱的非负频率部分，幅度是双边谱对应频率幅值的两倍。
复信号的单边谱和双边谱: 复信号的双边谱一般不具有对称性，单边谱无法完全代表双边谱。
正弦波: 其频谱为一条垂直于频率轴的线，对应于其频率。
方波: 其频谱为一系列幅值按1/n衰减的奇次谐波分量。

周期矩阵脉冲的频率，后面推出来的这个函数叫取样函数

指数形式的傅里叶级数

T相同，相邻谱线之间间隔相同，脉冲宽度越窄，频谱包络线第一个零点的频率越高。信号带宽越宽，频带内所含的分量越多。

就这样就取出来了

当分析非周期信号的傅里叶变换时

使用的是频谱密度函数

把T乘到一边，就会发现一个包络函数出来了

这个是傅里叶的积分式，变换

也可以写成三角形式

用函数性质得到

信号频谱不能用幅度了，就用密度了

F(jw),频谱密度函数

角频率变f以后，正逆变换更一样了

也可以写成复数形式

单边指数信号

频谱

双边指数频谱

这个是求解

还有这个

奇异函数是指在某个点或某个区间内具有无穷大值的函数。常见的奇异函数包括：

狄拉克δ函数（冲激函数）: 在原点处值为无穷大，而在其他点处值为0，且其积分等于1。
阶跃函数: 在某个点之前值为0，在该点之后值为常数。

均匀谱

广义函数版本：

那就是趋于无穷

已知门函数的傅里叶变换，所以可以得出这样的结论

冲激函数一阶导数的频谱函数

n阶是这样的

冲激函数一阶导数，也称为冲激偶极子，通常表示为δ'(t)。它可以被视为一系列极窄的正负脉冲，其面积相等但符号相反。

结论： 冲激函数一阶导数的傅里叶变换为 jω。

推导过程：

我们可以从冲激函数的傅里叶变换开始推导。冲激函数δ(t)的傅里叶变换为1：

F[δ(t)] = 1

根据傅里叶变换的微分性质，时域信号的微分对应于频域信号乘以 jω：

设 f(t) 是一个时间域信号，其傅里叶变换为 F(ω)。则 f(t) 的一阶导数 f'(t) 的傅里叶变换为：

F[f'(t)] = jωF(ω)

F[·] 表示傅里叶变换
j 是虚数单位
ω 是角频率
频率成分： 时域信号的微分操作会增强高频成分，因为高频成分的变化率更大。在频域上表现为频谱乘以一个线性相位因子 jω，使得高频部分的幅值相对增大。
相位变化： 乘以 jω 相当于给频谱引入了一个线性相位。这表明，时域信号的微分操作会改变信号各频率成分的相位关系。

线性相位是指一个系统的频率响应的相位部分与频率成线性关系。换句话说，对于一个线性相位系统，不同频率的信号通过系统后，它们的相位会发生一个固定的延迟，这个延迟与频率成正比。

无失真传输： 线性相位系统不会引入额外的相位畸变，因此可以保证信号的波形在通过系统后不发生畸变，从而实现无失真传输。
脉冲响应的形状保持： 线性相位系统可以保持输入信号的脉冲形状。 相位特性： 相位与频率成线性关系，可以表示为：

φ(ω) = -τω

其中，φ(ω) 是相位，ω 是角频率，τ 是一个常数，表示时延。

群延迟： 群延迟是指信号的不同频率成分通过系统后产生的时间延迟。对于线性相位系统，群延迟是一个常数，即所有频率成分的延迟相同。
脉冲响应： 线性相位系统的脉冲响应是一个关于时间轴对称的函数。
FIR滤波器: FIR滤波器可以通过设计系数来实现线性相位。
IIR滤波器: 一般的IIR滤波器很难实现严格的线性相位，但可以通过一些特殊的结构来逼近线性相位。
线性相位： 相位与频率呈线性关系，不会引入相位畸变。
非线性相位： 相位与频率的关系是非线性的，会引起信号的相位畸变，导致信号波形的失真。

时域信号的微分相当于频域信号乘以一个线性相位因子。

F[f'(t)] = jωF[f(t)]

将f(t)替换为冲激函数δ(t)，得到：

F[δ'(t)] = jωF[δ(t)] = jω

频率成分： 冲激函数一阶导数的频谱是一个斜率为1的直线，这意味着它包含了所有频率的成分，且高频成分的幅值更大。
相位： 频谱函数中的 j 表示相位为90度，即高频成分相对于低频成分有90度的相位超前。

它表明，一个包含高频成分的信号，其时域表示往往具有较大的变化率。

系统分析: 在系统分析中，冲激偶极子可以用来表示系统的初始条件。
信号处理: 冲激偶极子可以用来模拟一些突变的信号，例如开关信号。
广义函数: 冲激函数和它的导数都是广义函数，在严格的数学意义上需要用分布理论来处理。
理想化模型: 冲激函数和它的导数都是理想化的数学模型，在实际物理系统中并不存在。

接下来是单位直流信号1的频谱：

显然不满足绝对可积，但是FT存在

单位直流信号，也就是幅值为1的恒定信号。它的频谱非常简单：一个位于原点（频率为0）的冲激函数。

为什么是个冲激函数？

直流信号的定义： 直流信号表示频率为0的信号，也就是不随时间变化的信号。
傅里叶变换的物理意义： 傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的正弦波的叠加。
对于直流信号来说，它只包含一个频率为0的正弦波（即直流分量），因此在频域上只对应一个冲激函数。
频率成分： 单位直流信号只包含一个频率成分，即直流分量。
能量集中： 所有的信号能量都集中在频率为0的点上。
其他直流信号： 对于幅值不为1的直流信号，其频谱的形状与单位直流信号相同，只是冲激函数的高度不同。
阶跃函数： 阶跃函数可以看作是直流信号加上一个在t=0处有跳变的信号。因此，阶跃函数的频谱除了在原点处有一个冲激外，还包含其他频率成分。

如果我们用 u(t) 表示单位直流信号，那么它的傅里叶变换 U(ω) 可以表示为：

U(ω) = 2πδ(ω)

δ(ω) 是狄拉克δ函数，表示一个位于原点的冲激。
2π 是一个归一化常数，具体值取决于傅里叶变换的定义方式。

单位直流信号的频谱图就是一个位于原点处的高度为2π的冲激。

符号函数

是这个函数的极限

极限过程

频谱形状： 符号函数的频谱是一个在原点处具有无穷大值的奇函数，且在其他频率处衰减。
物理含义： 符号函数表示一个信号的极性，其频谱表示该信号包含了所有频率的成分，且高频成分的幅值较小。

阶跃函数（也称为单位阶跃函数）是一个在时间轴上从负无穷大到0时刻值为0，在0时刻跳变为1，之后保持不变的函数。通常用 u(t) 表示。

u(t) = 
  0,  t < 0
  1,  t >= 0

阶跃函数的傅里叶变换

阶跃函数的傅里叶变换可以直接通过公式计算得到：

F[u(t)] = 1/(jω) + πδ(ω)

F[·] 表示傅里叶变换
j 是虚数单位
ω 是角频率
δ(ω) 是狄拉克δ函数，表示一个位于原点的冲激
1/(jω)项： 这部分表示阶跃函数的频谱在除原点外的所有频率上都有分量，且随着频率的增加，幅值逐渐减小。这反映了阶跃函数在时域上突然变化的特性。
πδ(ω)项： 这部分表示阶跃函数的直流分量，即频率为0的分量。
系统分析: 阶跃响应是分析系统性能的重要指标，而阶跃函数的频谱可以帮助我们了解系统的频率响应特性。
信号处理: 阶跃函数可以用来模拟一些突变的信号，例如开关信号。

系统的频率响应特性是指当系统输入为不同频率的正弦信号时，系统输出的稳态响应的幅值和相位与输入信号频率的关系。简单来说，就是系统对不同频率信号的“反应”能力。

频率响应特性通常用以下两种图表示：

幅频特性: 描述输出信号的幅值与输入信号频率的关系。
相频特性: 描述输出信号的相位与输入信号频率的关系。

阶跃函数的频谱图在原点处有一个无限高的冲激（包含一个直流分量和一个在其他频率上衰减的分量），而在其他频率上则是一个衰减的函数。阶跃函数在时域上虽然是一个简单的函数，但在频域上却包含了所有频率的成分。

只有实信号有这个特点

实偶函数: 如果时域信号 f(t) 是实偶函数，即 f(-t) = f(t)，那么它的傅里叶变换 F(ω) 也是实偶函数。
实奇函数: 如果时域信号 f(t) 是实奇函数，即 f(-t) = -f(t)，那么它的傅里叶变换 F(ω) 是纯虚奇函数。

一个实部一个虚部

对于任意实函数 f(t)，其傅里叶变换 F(ω) 满足共轭对称性：

F(-ω) = F*(ω)

其中，F*(ω) 表示 F(ω) 的共轭复数。

实偶函数: 表示信号关于时间轴对称，其频谱也关于频率轴对称，没有相位信息。
实奇函数: 表示信号关于原点对称，其频谱为纯虚数，表示信号的相位为±π/2。实奇函数的傅里叶变换是纯虚奇函数。也就是说，实奇函数的频谱关于原点对称，且虚部为奇函数。
共轭对称性: 表示实信号的频谱具有共轭对称性，即正频率部分和负频率部分互为共轭复数。