【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )

文章目录

• • • • 群的定义
      • 群的分类
      • 群的证明方法
      • 交换群的证明方法
      • 数集回顾
      • 群的证明

群的定义

群 的 定义 : 一个 非空 集合

中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合

称为 群 ;

• 1. 封闭性 :
  • 1> 符号表示 :

  $$\forall a,b \in G , a \times b = c \in G$$

  • 2> 自然语言描述 : 非空集合

  $$G$$

  中任意两个元素

  $$a,b$$

  相乘, 其结果

  $$c$$

  也是 集合

  $$G$$

  中的元素 ;

• 2. 结合律 :
  • 符号表示 :

  $$\forall a,b, c \in G , a \times ( b \times c ) = (a \times b) \times c$$

  ;

• 3. 有单位元 :
  • 1> 符号表示 :

  $$\exist e \in G, \forall a \in G, e \times a = a\times e = a$$

  • 2> 自然语言描述 : 存在一个

  $$e$$

  , 乘以

  $$a$$

  , 或者 与

  $$a$$

  相乘 , 其结果都是

  $$a$$

  , 相当于

  $$1$$

  ;

• 4. 每个元

有逆元

:

• 1> 符号表示 :

,

• 2> 自然语言描述 :

是之前的 单位元 ( 类似于

) ,

与

的逆 相乘 , 结果是单位元

;

注意 : 这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;

构成代数结构可以表示成

群的分类

群 的 分类 :

• 1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;
• 2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;
• 3.群 的 阶 : 群

含有的元素个数叫群的阶 , 记做

;

• 4.有限群 :

是 有限的 , 叫做 有限群 ;

• 5.无限群 :

是 无限的 , 叫做 无限群 ;

群的证明方法

群的证明方法 : 给定一个 集合

和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
• 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
• 3.证明结合律 : 集合中

与

和

进行二元运算 , 其结果 与

和

与

进行运算结果相同 ;

• 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个

元素 ,

与

和

与

运算 结果都是

; 相当于乘法中的

或 加法中的

;

• 5.证明其逆元 :

与

或者

与

进行运算 , 其结果是

单位元 ;

满足以上

个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

交换群的证明方法

在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;

数集回顾

数集 及 表示方法 :

• 1.整数 :

, 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ;

• 2.正整数 :

, 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ;

• 3.负整数 :

, 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ;

• 4.非负整数 :

, 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ;

• 5.有理数 :

, 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ;

• 6.实数集 :

, 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ;

• 7.虚数 :

, 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ;

• 8.复数 :

, 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;

有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ; 实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ; 虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;

数集中的常用上标 用法 :

• 1.正数 :

表示该数集中元素全为 正数 ;

• 2.负数 :

表示该数集中的元素全为 负数 ;

• 3.剔除

元素 :

表示剔除该数集上的元素

;

表示剔除 实数集

中的 元素

,

群的证明

题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;

证明方法 : 给定一个 集合

和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
• 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
• 3.证明结合律 : 集合中

与

和

进行二元运算 , 其结果 与

和

与

进行运算结果相同 ;

• 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个

元素 ,

与

和

与

运算 结果都是

; 相当于乘法中的

或 加法中的

;

• 5.证明其逆元 :

与

或者

与

进行运算 , 其结果是

单位元 ;

满足以上

个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

证明 :

① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ; ② 结合律 :

个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ; ③ 证明单位元 : 存在

, 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ; ④ 证明逆

的存在 : 集合中的任意元素

, 其

,

, 其逆元成立 ;

因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;