深度！图解神经网络的数学原理

如今，熟练使用像 Keras、TensorFlow 或 PyTorch 之类的专用框架和高级程序库后，我们不用再经常费心考虑神经网络模型的大小，或者记住激活函数和导数的公式什么的。有了这些库和框架，我们创建一个神经网络，哪怕是架构很复杂的网络，往往也只是需要几个导入和几行代码而已。如下示例：

使用框架搭建神经网络

首先，我会展示一种热门神经网络框架 -- Keras用来搭建神经网络模型。

from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense

model = Sequential()
model.add(Dense(4, input_dim=2,activation='relu'))
model.add(Dense(6, activation='relu'))
model.add(Dense(6, activation='relu'))
model.add(Dense(4, activation='relu'))
model.add(Dense(1, activation='sigmoid'))

model.compile(loss='binary_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])
model.fit(X_train, y_train, epochs=50, verbose=0)

如前面说过，只需几个导入、几行代码就能创建和训练一个模型，拿来解决分类问题几乎能达到 100% 的准确率。我们的工作归纳起来就是根据选择的模型结构，为模型提供超参数，比如网络层的数量、每层的神经元数量、激活函数和训练周期数量等等。下面我们来看看训练的过程发生了什么，可以看到随着训练过程中，数据被正确地区分开了！

有了这些框架，这的确为我们节省了大量写bugs(...) 的时间，让我们的工作也更加流程化。然而，熟知神经网络背后的工作原理，对于我们选择模型架构、调参或优化模型都有莫大的帮助。

神经网络原理

为了更深入的理解神经网络的工作原理，本文将帮助大家理解一些在学习过程中可能会感到困惑的概念。我会尽量让那些对代数和微积分不感冒的朋友读着不那么痛苦，但是正如文章题目所示，本文主要讲数学原理，所以会谈论大量的数学，在这里先提个醒。

举个例子，我们要解决一个数据集的二元分类问题，数据集如上所示。

数据点组成了两个类别的圆圈状，要区分这个数据，对很多传统的机器学习算法来说都非常麻烦，但神经网络可以很好地处理这个非线性分类问题。

为了解决这个问题，我们会使用如下图所示结构的神经网络，它有 5 个全连接层，每层有不同数量的神经元。对于隐藏层，我们会使用 ReLU 作为激活函数，在输出层中使用 S 型函数。这是个相当简单的结构，但也足够解决我们的难题了。

什么是神经网络？

我们首先来回答这个关键的问题：什么是神经网络？它是一种在生物学启发下创建的计算机程序，能够学习知识，独立发现数据中的关系。如图 2 所示，神经网络就是一系列的神经元排列在网络层中，网络层以某种方式连接在一起，从而相互之间实现沟通。

单个神经元

每个神经元会接受一系列的 x 值（从 1 到 n 的数字）作为输入，计算预测的 y-hat 值。向量 x 实际上包含了训练集中 m 个样本中一个样本的特征值。而且每个神经元会有它自己的一套参数，通常引用为 w（权重的列向量）和 b（偏差），在学习过程中偏差会不断变化。在每次迭代中，神经元会根据向量 x 的当前权向量 x 计算它的加权平均值，再和偏差相加。最后，计算的结果会传入一个非线性或函数 g 中。我在下面会提及一些最常见的激活函数。

图：单个神经元

单个网络层

现在，我们把范围缩小一点，思考一下神经网络的整个网络层是怎么进行数学运算的。我们会利用单个神经元的计算知识，在整个层中进行向量化，将这些计算融合进矩阵方程中。为了让数学符号一致，这些方程会写给选定的网络层。另外，下标的 i 符号标记了这一层的神经元顺序。

图：单个网络层

还有一件重要的事：在我们为单个神经元写方程时，我们使用 x 和 y-hat，它们分别表示特征列向量和预测值。当换成网络层的通用符号时，我们使用向量 a —— 意指对应网络层的激活。因此 x 向量是网络层 0（输入层）的激活。网络层中的每个神经元都按照如下方程式执行相同的运算：

让大家更清晰的看看，我们把第 2 层的公式写下来：

你可以看到，对每个网络层，我们必须执行一系列非常相似的运算。在这里使用 for 循环并不是非常高效，所以我们换成向量化来加快计算速度。首先，将权重 w 的水平向量堆放在一起，我们创建矩阵 W。同样地，我们将网络层中每个神经元的偏差堆放在一起，创建垂直向量 b。现在，我们可以顺利地创建一个矩阵方程式了，从而一次性计算该网络层的所有神经元。我们同样写下来用过的矩阵和向量的维度。

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多个例子中的向量化

我们迄今所用的方程式只涉及了一个例子。在神经网络的学习过程中，你通常要处理大量的数据，最高可达数百万条。所以下一步就是在多个例子中实现向量化。假设我们的数据集有 m 个条目，每个有 nx 个特征。首先，我们将每一层的垂直向量 x，a 和 z 放在一起，分别创建矩阵 X，A 和 Z。然后，我们根据新创建的矩阵，重新编写之前列出的方程式。

什么是激活函数？我们为何需要它？

激活函数是神经网络中最重要的部分之一。没有激活函数，我们的神经网络就只是一些线性函数的组合，那样无非就是个线性函数而已。如果是这样，模型的扩展性就很有限了，比逻辑回归也强不到哪去。非线性部分能让模型有更大的灵活性，在学习过程中也能创建复杂的函数。

此外，激活函数对模型的学习速度也有重大影响，而学习速度是选择模型的主要标准之一。下图显示了一些常用的激活函数。当前，隐藏层中最常用的激活函数应该是 ReLU。在处理二元分类问题时，特别是想让模型返回在 0 到 1 之间的值时，我们有时也会使用 S 型函数，特别是在输出层中。

损失函数

学习过程中基本信息源就是损失函数的值。通常来讲，使用损失函数的目的就是展示我们离“理想”情况的差距。在我们这个例子中，我们使用了二元交叉熵，但根据我们处理的具体问题，可以使用不同的函数。我们所用的函数用如下公式表示，在学习过程中它的值的变化情况可视化动图如下。它显示了每次迭代中，损失函数的值在不断下降，准确度的值也不断增加。

神经网络是怎么学习的？

学习过程就是不断改变 W 和 b 参数的值，让损失函数实现最小化。为了能实现这个目标，我们会借助微积分，使用梯度下降法来找到函数最小值。在每次迭代中，我们会计算损失函数偏导数相对于每个神经网络参数的值。对于不太熟悉这种计算类型的人，我这里提示一下，导数能够描述函数的斜率。正因如此，我们能够知道该如何操作变量，从而在图中向下移动。为了能让大家直观感受梯度下降的工作原理，我预备了一点小小的可视化，如下图所示。你可以看到，随着训练批次增加，我们越来越靠近最小值。在我们的神经网络中，也是同样的工作方式——每次迭代计算出的梯度为我们显示了应该向哪个方向移动。主要的不同之处是在我们的神经网络中，我们有更多的参数可以调整。那么怎么计算如此复杂的导数呢？

反向传播

反向传播是一种算法，能让我们计算非常复杂的梯度，比如我们这个例子中需要的梯度。神经网络的参数按照如下公式进行调整。

在上面的方程式中，α 表示学习率——该超参数能让我们控制调整幅度的大小。选择学习率很关键，如果设置的太低，神经网络会学习的非常慢；如果设置的太高，我们就无法达到损失的最小值。使用链式法则以及损失函数对于 W 和 b 的偏导数来计算出 dW 和 db，这二者的大小分别等于 W 和 b。下面第二张图展示了神经网络中的操作顺序。我们可以清楚地看到正向传播和反向传播共同工作，优化损失函数。

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结语

希望本文能帮助你理解一些神经网络背后的数学原理，掌握其中的数学基础知识对于你使用神经网络会大有帮助。虽然本文列出了一些重要内容，但它们也只是冰山一角。强烈建议你自己试着用一些简单的框架写一个小型的神经网络，不要借助很高级的框架，这样能加深你对机器学习的理解。

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