利用生成函数求斐波那契数列通项公式

利用生成函数求斐波那契数列通项公式

先吐槽一下，学习这玩意儿的时候真的是深深的明白了自己的弱小，人家的一个"解得"我居然解了两个小时。。qwq

前置知识

斐波那契数列：

$f_i = f_{i-1} + f_{i - 2}$

$f_0 = f_1 = 1$

普通生成函数:

简单来说用多项式$\sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i$的系数表示序列的元素

同时因为我们不关心\(x\)的取值，因此\(\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i\)又称作以\(x\)为自由元的形式幂级数

常见的有:

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{\infty}$

证明: 后半部分可以直接由通项公式得到$S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$，当$x \in (-1, 1)$，那么$\lim_{n\to +\infty} x^{n+1} = 0$

将x替换为$xk$得

$\frac{1}{1-kx} = 1 + kx + k^2x^2 + k^3x^3 \dots + k^{\infty}x^{\infty}$

解法

设$A = 1 + 1x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots$

根据递推式，我们可以这样变化，显然有

$\begin{aligned} A = \ 1 + 1x + &2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 \dots \\ xA = \ \ \qquad x + &1x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 5x^5\dots \\ x^2A =\qquad \qquad &1x^2 + 1x^3 + 2x^4 + 3x^5 \dots \end{aligned}$

那么可以得到一个方程$A - xA - x^2A = 1$

整理一下$A =\frac{1}{1-x-x^2}$

这样我们就得到了斐波那契数列的生成函数，然而并没有什么卵用，因为我们不能直接通过观察看出每一项的系数。

现在考虑一下，我们接下来可以干什么。我们已经知道了$\frac{1}{1-x}$和$\frac{1}{1-kx}$所表示的序列。接下来要干的当然是把$\frac{1}{1-x-x^2}$往上面的两个式子转化。

$\frac{1}{1-x-x^2}$这玩意儿下半部分是个一元二次方程，我们可以配方

$1-x-x^2 = (1-\phi_1x)(1-\phi_2x)$

$\phi_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \phi_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$

(解的时候可以直接把后面的式子拆开，把这两个式子对应项联立组成方程组,$\phi_1 \phi_2$的取值是可以反过来的)

这个时候我们发现已经找到与\(\frac{1}{1-kx}\)的联系了，我们可以把$\frac{1}{(1-\phi_1 x)(1-\phi_2 x)}$拆成求和的形式。可以裂一下项

原式变为$\frac{a}{1-\phi_1x} + \frac{b}{1-\phi_2 x}$，然后再解一个方程$a(1-\phi_2 x) + b(1-\phi_1x) = 1$

解这个方程就没那么休闲了，这里我们选择把x当做主元对方程进行变换

$(a+b - 1) - x(a\phi_2 + b\phi_1) = 0$

这样就好处理了，只要列个二元一次方程组

$\begin{cases} a-b-1 = 0\\ a\phi_2 + b\phi_1 = 0 \end{cases}$

解一下可以得到$a = \frac{1}{\sqrt{5}} \phi_1, b = -\frac{1}{\sqrt{5}} \phi_2$

带回去

$A = \frac{\phi_1}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_1x} - \frac{\phi_2}{\sqrt{5}} \frac{1}{1-\phi_2x}$

那么第n项的公式为

$A_n = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1})$

参考资料

生成函数-罗煜楚(版权原因暂不公开)

特别感谢张一钊老师qwq