Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/config.js
前往小程序,Get更优阅读体验!
立即前往
首页
学习
活动
专区
圈层
工具
发布
首页
学习
活动
专区
圈层
工具
MCP广场
社区首页 >专栏 >正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

作者头像
大鹅
发布于 2021-06-16 08:57:05
发布于 2021-06-16 08:57:05
3.9K0
举报

正定矩阵

在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。 定义: A A是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有 xTAx>0 x^TAx> 0,其中 xT x^T 表示 x x的转置,就称AA正定矩阵。

性质:

  1. 正定矩阵的行列式恒为正
  2. 实对称矩阵 A A正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
  3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
  4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

等价命题: 对于n阶实对称矩阵 A A,下列条件是等价的:

  1. AA是正定矩阵;
    • A A的一切顺序主子式均为正;
    • AA的一切主子式均为正;
    • A A的特征值均为正
    • 存在实可逆矩阵C,使A=C'C;C,使A=C′C;
      • 存在秩为n的m×n实矩阵 B,使A=B'B; B,使A=B′B;
      • 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵 R,使A=R'R R,使A=R′R
      • 根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:
        1. 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。
        2. 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。 例: 判断矩阵是否正定 Q=⎧⎩⎨⎪⎪6−31−320104⎫⎭⎬⎪⎪ Q= \left\{ \begin{matrix} 6 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{matrix} \right\} 解:对称矩阵Q的三个顺序主子式依次为 |6|=6>0 |6|=6>0 ∣∣∣6−3−32∣∣∣=3>0 { \begin{vmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} } =3>0 ∣∣∣∣6−31−320104∣∣∣∣=10>0 { \begin{vmatrix} 6 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{vmatrix} } =10>0 矩阵Q是正定的

        半正定矩阵 A A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有x^TAx≥0,就称A为半正定矩阵。 对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 性质:

        1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
        2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
        3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

        等价条件:

        1. A A是半正定的;
        2. AA的所有主子式均为非负的;
        3. A A的特征值均为非负的;
        4. 存在n阶实矩阵C,使A=C'CC,使A=C′C;
        5. 存在秩为r的r×n实矩阵 B B,使A=B'BA=B′B。

        直观理解正定、半正定矩阵: XTMX≥0 X^TMX\ge 0 XTY≥0 (Y=MX) X^TY\ge 0 \ \ (Y=MX) cos(θ)=XTY||X||∗||Y||≥0 cos(\theta)=\frac{X^TY}{||X||*||Y||}\ge 0 ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划,分享自作者个人站点/博客。
原始发表:2018/01/24 ,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自 作者个人站点/博客 前往查看

如有侵权,请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划  ,欢迎热爱写作的你一起参与!

评论
登录后参与评论
暂无评论
推荐阅读
编辑精选文章
换一批
正定,半正定矩阵
本文介绍正定矩阵和半正定矩阵。 定义 正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。 正定 给定一个大小为n \times n 的实方阵A ,若对于任意长度为n的非零向量x ,有x^TAx>0A是一个正定矩阵。 此时,若A为对称方阵,则称A为对称正定矩阵。 半正定 给定一个大小为n \times n 的实方阵A ,若对于任意长度为n的非零向量x ,有x^TAx
为为为什么
2022/08/05
1.6K0
正定,半正定矩阵
合同,正定,实对称,正交矩阵(补充子式)
标题里面的名词在后续的学习中频繁的出现,这里就做了一些总结,应该是没有什么错误的了,然后这段内容用例子来讲也没有多大的意思,数学抽象的苦该吃还得吃。
云深无际
2024/11/19
5100
合同,正定,实对称,正交矩阵(补充子式)
线性代数之相似矩阵、二次型
(1)特征值求法:解特征方程; (2)特征向量的求法:求方程组的基础解系。 (3)特征值的性质:
用户11315985
2024/10/16
2620
线性代数之相似矩阵、二次型
正负定矩阵
1. 正定矩阵 1.1 定义 在实数域下,一个 的实对称矩阵 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 都有 。 在复数域下,一个 的埃尔米特矩阵 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 都有 。 1.2 性质 对于 的埃尔米特矩阵 ,下列性质与「 是正定矩阵」等价: 矩阵 的所有特征值 都是正的。由于 必然与一个实对角 相似,即 ,则 是正定矩阵当且仅当 的对角线上的元素都是正的。
hotarugali
2022/03/09
1.6K0
如何理解正定矩阵和半正定矩阵
乍看正定和半正定会被吓得虎躯一震,因为名字取得不知所以,所以老是很排斥去理解这个东西是干嘛用的,下面根据自己和结合别人的观点解释一下什么是正定矩阵(positive definite, PD) 和半正定矩阵(positive semi-definite, PSD)。
marsggbo
2020/06/12
2.1K0
Deep Learning Chapter01:机器学习中线性代数
好久不见,大家好,我是北山啦。机器学习当中需要用到许多的数学知识,如今博主又要继续踏上深度学习的路程,所以现在在网上总结了相关的考研数学和机器学习中常见相关知识如下,希望对大家有所帮助。
北山啦
2022/10/31
5120
Deep Learning Chapter01:机器学习中线性代数
Deep Learning(花书)教材笔记-Math and Machine Learning Basics(线性代数拾遗)
\(L^p\) norm 定义如右: \(||x||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}\) for \(p∈R,p≥1\).
marsggbo
2018/12/21
1.1K1
矩阵奇异分解奇异值分解定理
定理 设 非奇异,则存在正交矩阵P和Q,使得 其中 证明 因为A非奇异,所以 为实对称正定矩阵,于是存在正交矩阵Q使得, 为 的特征值 设x为非0特征向量,因为
用户1733462
2018/06/01
1.7K0
线性代数之正定矩阵【数据分析处理】
正定矩阵在编程和计算机科学中有多种应用,特别是在优化、数值分析、机器学习等领域。以下是一些例子:
用户11315985
2024/10/16
2360
线性代数之正定矩阵【数据分析处理】
博客 | MIT—线性代数(下)
1、 投影矩阵与最小二乘:向量子空间投影在机器学习中的应用最为广泛。就拿最小二乘的线性拟合来说,首先根据抽样特征维度假设线性方程形式,即假设函数。
AI研习社
2018/12/28
1.5K0
博客 | MIT—线性代数(下)
理解图的拉普拉斯矩阵
谱图理论是图论与线性代数相结合的产物,它通过分析图的某些矩阵的特征值与特征向量而研究图的性质。拉普拉斯矩阵是谱图理论中的核心与基本概念,在机器学习与深度学习中有重要的应用。包括但不仅限于:流形学习数据降维算法中的拉普拉斯特征映射、局部保持投影,无监督学习中的谱聚类算法,半监督学习中基于图的算法,以及目前炙手可热的图神经网络等。还有在图像处理、计算机图形学以及其他工程领域应用广泛的图切割问题。理解拉普拉斯矩阵的定义与性质是掌握这些算法的基础。在今天的文章中,我们将系统地介绍拉普拉斯矩阵的来龙去脉。
SIGAI学习与实践平台
2021/04/09
4.7K0
理解图的拉普拉斯矩阵
机器学习的数学基础
向量空间一组基中的向量如果两两正交,就称为正交基;若正交基中每个向量都是单位向量,就称其为规范正交基。
iOSDevLog
2019/05/30
1.3K0
二次型和对称阵
二次型作为线性代数(就是大学版本)的最后一章,可谓是集所有的知识于一体,上接几何下连代数,把人搞的摸不着头脑。
云深无际
2024/10/14
1170
二次型和对称阵
【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) (上)
设\(λ=λ_i\)是矩阵\(A\)的一个特征值,则有方程\((A-λ_iv)x=0\),可求得非零解\(x=p_i\)即为\(λ_i\)对应的特征向量。(若\(λ_i\)为实数,则\(p_i\)可取实向量;\(λ_i\)为复数,则\(p_i\)可取复向量)
marsggbo
2018/12/27
1.1K0
我的机器学习线性代数篇观点向量矩阵行列式矩阵的初等变换向量组线性方程组特征值和特征向量几个特殊矩阵QR 分解(正交三角分解)奇异值分解向量的导数
前言: 线代知识点多,有点抽象,写的时候尽量把这些知识点串起来,如果不行,那就两串。其包含的几大对象为:向量,行列式,矩阵,方程组。 观点 核心问题是求多元方程组的解,核心知识:内积、秩、矩阵求逆,应用:求解线性回归、最小二乘法用QR分解,奇异值分解SVD,主成分分析(PCA)运用可对角化矩阵 向量 基础 向量:是指具有n个互相独立的性质(维度)的对象的表示,向量常 使用字母+箭头的形式进行表示,也可以使用几何坐标来表示向量。 单位向量:向量的模、模为一的向量为单位向量 内积又叫数量积
DC童生
2018/04/27
1.8K0
我的机器学习线性代数篇观点向量矩阵行列式矩阵的初等变换向量组线性方程组特征值和特征向量几个特殊矩阵QR 分解(正交三角分解)奇异值分解向量的导数
CSDN——C知道已开通满血版DeepSeek-R1功能-超级强大,快来尝试一下吧
自己搭建的DeepSeek是不是仅有7B呢,想使用超级豪华版本又没法长时间租赁服务器,使用接口又总是卡主,现在好了,C知道满血版本的DeepSeek已经来临,我们有什么犹豫的呢?快来开个会员不限次数的免费使用吧。
红目香薰
2025/02/17
2090
CSDN——C知道已开通满血版DeepSeek-R1功能-超级强大,快来尝试一下吧
万字长文带你复习线性代数!
课程主页:http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_LA16.html
石晓文
2018/12/25
1.7K0
万字长文带你复习线性代数!
线性代数--MIT18.06(二十六)
特征值的性质我们已经知道了,由于是对称矩阵的性质,我们再看下它的特征向量,因为特征向量正交,基于十七讲的内容,我们总可以将正交向量矩阵转化为正交矩阵,因此我们就可以将对角化公式进行如下分解
fireWang
2019/03/13
1.4K0
矩阵分析(十三)矩阵分解
设A\in \mathbb{C}_r^{m\times n},则存在B\in \mathbb{C}_r^{m\times r}, C\in \mathbb{C}_r^{r\times n},满足
mathor
2021/04/02
1.8K0
理解凸优化
凸优化(convex optimization)是最优化问题中非常重要的一类,也是被研究的很透彻的一类。对于机器学习来说,如果要优化的问题被证明是凸优化问题,则说明此问题可以被比较好的解决。在本文中,SIGAI将为大家深入浅出的介绍凸优化的概念以及在机器学习中的应用。
SIGAI学习与实践平台
2018/08/07
1.2K0
理解凸优化
推荐阅读
相关推荐
正定,半正定矩阵
更多 >
领券
问题归档专栏文章快讯文章归档关键词归档开发者手册归档开发者手册 Section 归档