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7.4 相对熵和交叉熵
在第4章4.4.3节介绍损失函数的时候，列出了几项常见的损失函数，其中就有神经网络中常用的以相对熵和交叉熵构建的损失函数。那么什么是相对熵和交叉熵呢？下面就分别进行介绍。
设某离散型随机变量有两个概率分布 P 和 Q ，它们之间的相对熵（relative entropy）定义为：
在信息论中，通常会按照7.3节（7.3.2）式的约定，写作：
在上述定义中约定：0\log \left(\frac{0}{0}\right) = 0 ，0\log\left(\frac{0}{Q(x)}\right) =0 ，P(x)\log\left(\frac{P(x)}{0}\right)=\infty （基于连续性），即若存在 x \in\displaystyle{\mathcal{X}}
使得 P(x) \gt 0, Q(x) = 0 ，有 D(P \parallel Q) = \infty 。
由于相对熵最早是由Solomon Kullback和Richard Leibler在1951年提出的，所以相对熵也称为KL散度（Kullback–Leibler divergence）——这就是符号 D_{KL}(P||Q) 下角标的来源。“divergence”翻译为“散度”，它也反应出了（7.4.2）式所定义的相对熵的作用：度量两个概率分布的差异（“分散程度”），或者说两个分布之间的距离，但是，此处的“距离”和两个向量的距离不同，因为一般情况下 D_{KL}(Q||Q)\ne D_{KL}(Q||P) ，即相对熵具有不对称性。
下面选用Kullback在《Information Theory and Statistics》中的一个示例，说明相对熵的应用和意义。设分布 P 是二项分布（ n=2, p=0.4 ），分布 Q 是均匀分布。如果随机变量的取值分别为 0,1,2 ，即 \displaystyle\mathcal{X}=\{0,1,2\} ，在分类问题中，表示三个不同的类别。如表7-2-3所示，记录了每个类别对应的输出概率。
表7-2-3
x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
P(x) | 9/25 | 12/25 | 4/25 |
Q(x) | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
利用表7-2-3的概率分布，计算相对熵 D_{KL}(P||Q) 和 D_{KL}(Q||P) 的值（Kullback在书中使用的是自然对数，这里稍作修改，依然是以 2 为底，最终所得结果单位是比特）。
以上计算结果证实了相对熵的不对称性。用手工计算方法了解了基本原理之后，也要知晓用程序计算相对熵的方法，依然使用scipy库提供的entropy()函数。
from scipy.stats import entropy
p = [9/25, 12/25, 4/25]
q = [1/3, 1/3, 1/3]
d_pq = entropy(p, q, base=2)
d_qp = entropy(q, p, base=2)
print(f"D(P||Q)={d_pq:.4f}")
print(f"D(Q||P)={d_qp:.4f}")
# 输出
D(P||Q)=0.1231
D(Q||P)=0.1406
在相对熵的定义（7.4.1）式，两个分布 P 和 Q 是针对同一个随机变量而言，这点特别要注意，不是两个随机变量的概率分布。对此，可以借用机器学习的模型训练过程理解。
在机器学习中，训练集的样本，并非是总体，可以认为是从总体中按照随机的原则独立抽样得到的（即独立同分布，independent and identically distributed，简称：i.i.d），那么训练集样本的概率分布与总体的概率分布就可以近似P_{train} \approx P_{real} ——总体的概率分布才是真实的，但我们通常不知道它（只有上帝知道）。将训练集数据用于模型，从而估计出模型参数，即得到了一种概率分布，记作 Q_{model} 。然后使用 Q_{model} 进行预测，得到预测值。
这样对同一个训练集样本，就有了两个概率分布 P_{train} 和 Q_{model} 。前面已经论述了 P_{train} \approx P_{real} ，如果将（7.4.1）式中的分布 P 视为 P_{train} ，代表数据集的真实分布；Q 视为 Q_{model} ，称为假设分布或模型分布。就可以用相对熵度量它们之间的差异，从而评估模型的优劣。所以在第4章4.4.3节中给出了一个KL散度损失函数。
由（7.4.1）式可得：
（7.4.3）式的结果中，-\log(Q(x)) 表示模型分布的信息，-\log(P(x)) 表示真实分布的信息，二者之差可以理解为用模型预测损失的信息，令 Z = -\log(Q(x))-[-\log(P(x))] ，则：
这说明相对熵是按概率 P(X) 损失的信息的期望（在（7.4.4）中使用了数学期望的性质（E5）：
。同样，也可以将相对熵的定义（7.4.1）式写成：
其含义为按概率 P(X) 的 P 和 Q 的对数商的期望。不论是（7.4.4）式，还是（7.4.5）式，都说明相对熵是一种数学期望，能够用它度量当真实分布P 、模型分布为 Q 时的无效性。按照（7.4.4）式，我们期望损失更少的信息——该式表达的就是期望，即无效性更小，则相对熵越小。当相对熵为 0 时，P=Q ，并且可以证明 D_{KL}(P\parallel Q) \ge 0 （详细证明请参阅本书在线资料）。
在（7.4.3）式基础上，还可以得到：
（7.4.6）式中等号右边第一项 \sum_{x\in\displaystyle\mathcal{X}}P((x))\log(P(x)) 即为分布 P 的熵的负数，根据7.2节的（7.2.3）式 H(P) =- \sum_{x\in\displaystyle\mathcal{X}}P((x))\log(P(x)) ，得 \sum_{x\in\displaystyle\mathcal{X}}P((x))\log(P(x)) = -H(P) ；第二项与熵类似，但对数的计算对象是另外一个分布函数，我们将它定义为交叉熵（cross entropy）：
于是（7.4.6）式可以写成：
不要忘记，我们所假设的真实分布 P 是 P_{train} ，又因为训练集样本已知，它熵 H(P) 即不再变化。于是，由（7.4.8）式知，可以用交叉熵 H(P,Q) 判断相对熵 D_{KL}(P\parallel Q) 的情况——比较（7.4.1）式和（7.4.4）式，交叉熵的形式更简单。例如，有一个能够识别四种图片的模型——称为“四类别分类器”，能够识别“狗、猫、马、牛”，假设输入了一张图，经过分类器之后输出了预测值，如图7-4-1所示。
图 7-4-1
根据图中的预测值 \hat{\mathbf{y}}_1=\begin{bmatrix}0.775&0.116&0.039&0.070\end{bmatrix}^{\rm{T}} 和真实值 \mathbf{y} =\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}^{\rm{T}} ，利用（7.2.18）式，可以计算交叉熵：
假设对分类器进行了优化，输出的预测值变为 \hat{\mathbf{y}}_2=\begin{bmatrix}0.938&0.028&0.013&0.021\end{bmatrix}^{\rm{T}} ，此时交叉熵为：H_2(\mathbf{y}\parallel\hat{\mathbf{y}}_2) = -\log0.938 \approx 0.0923 显然 H_2 \lt H_1 ，根据（7.4.5），则得到 D_{KL2}\lt D_{KL1} ，即优化之后的分类器预测效果更好——通过上述假设的输出数据，凭直觉也能判断分类器的好坏。由此可以想到，正如第4章4.4.3节所列举的，可以用交叉熵作为损失函数，令其最小化，亦即相对熵最小化。
我们先探讨一种简单而常见的分类器——二分类的分类器（binary classification），用符号\boldsymbol{\theta} 表示分类器中待定的参数，预测值 \hat{\pmb{y}} = Q(\hat{\pmb{y}}|\pmb{X}, \boldsymbol{\theta}) ，相应地真实值标签 \pmb{y}\sim P(\pmb{y}|\pmb{X}, \boldsymbol{\theta}_0) 。训练集样本相对总体符合 i.i.d 要求， \pmb{X} = \begin{bmatrix}X_1&\cdots&X_n\end{bmatrix}^{\rm{T}} ，为输入数据；\boldsymbol{\theta}_0 为模型中真实参数 ；\pmb{y} = \begin{bmatrix}y_1&\cdots&y_n\end{bmatrix} 中的 y_i
取值为 0 或 1 ；X_i 对应的预测值简写成 y_i=q_i(X_i)=q_i 。
由于二分类器的输出结果服从伯努利分布即
对照（7.4.7）式，可得其交叉熵：H(y_i,\hat{y}_i) = -y_i\log(q_i) - (1-y_i)\log(1-q_i) \quad(7.4.9)
将（7.4.9）式视为预测值与真实值之间的损失函数，设训练集中的样本数量为 N ，由此交叉熵损失函数可构建代价函数（参阅第4章4.4.3节）：
如果对（7.4.10）式求最小值，即可估计待定参数 \boldsymbol{\theta} 的值，从而确定模型的具体形式。
二分类的交叉熵的交叉熵为损失函数，常用于Logistic回归和神经网络，在第4章4.4.3节中，曾使用Pytorch提供的函数实现了交叉熵损失函数，下面的程序演示中用的是scikit-learn库的log_loss()函数，对模型的预测值和真实进行差异评估。
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import log_loss
import numpy as np
x = np.array([-2.2, -1.4, -.8, .2, .4, .8, 1.2, 2.2, 2.9, 4.6])
y = np.array([0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0])
logr = LogisticRegression(solver='lbfgs')
logr.fit(x.reshape(-1, 1), y)
y_pred = logr.predict_proba(x.reshape(-1, 1))[:, 1].ravel()
loss = log_loss(y, y_pred)
print('x = {}'.format(x))
print('y = {}'.format(y))
print('Q(y) = {}'.format(np.round(y_pred, 2)))
print('Cross Entropy = {:.4f}'.format(loss))
# 输出
x = [-2.2 -1.4 -0.8 0.2 0.4 0.8 1.2 2.2 2.9 4.6]
y = [0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Q(y) = [0.19 0.33 0.47 0.7 0.74 0.81 0.86 0.94 0.97 0.99]
Cross Entropy = 0.3329
用交叉熵作为损失函数，不仅仅适用于二分类，对多分类问题也适用（如第4章4.4.3节多分类交叉熵损失函数的示例）。
在交叉熵损失函数中，出现了对数运算。在第6章6.2.1节关于最大似然估计的计算中，也出现了对数运算。那么，这个两个有什么关系吗？先说结论：最小化交叉熵与最大似然估计等价。下面就证明此结论，不过由于是纯粹数学推导，读者可以略过，只知道此结论即可。
按照最大似然估计，设估计所得参数为 \hat{\boldsymbol{\theta}} （其他符号假设同前），则：
对于有 N 个样本的训练集，根据大数定理， \frac{1}{N} \to E[P(\pmb{y})|\boldsymbol{\theta}_0)] ，所以，以上计算结果等价于：
由此可知，最大似然估计，即最小化相对熵，也就是最小化交叉熵。
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