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标准化流 Normalizing Flows

为为为什么

发布于 2023-05-24 06:27:02

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学习生成模型标准化流，本文记录相关内容。 Change of variables, change of volume

简介

标准化流能把简单的地摊货概率密度(比如高斯分布)形式转换成某种高大上的分布形式。它可以用在产生式模型、强化学习、变分推断之类的地方。

Normalizing Flows尚无标准的中文译名。Flow指的是数据“流”过一系列双射（可逆映射），最终映射到合适的表征空间；Normalizing指的是，表征空间的变量积分为1，满足概率分布函数的定义。

统计机器学习

统计机器学习旨在获悉参数分布 $p(x ; \theta)$ ，以揭示数据的结构。以此出发，你将能达成以下四个目标：

采样该结构，生成数据。这样就节省了完整的生成过程，若完整的过程纷繁浩杂，则节省巨大。同样，现实数据的维度高，采样后的低维结果就可管中窥豹，节省计算。
评估测试数据的似然概率。在拒绝采样或评估模型时有用。
获得变量间的条件依赖关系。如 $p\left(x_{2} \mid x_{1}\right)$ 可用来判别或回归。这一条与上一条刚好相对应，一个是unconditional likelihood estimation，一个是conditional likelihood estimation。
评判算法。如熵、互信息、高阶矩等指标，均可一试。

以上四个目标，第一个研究的最充分。合成图像、声音，已在谷歌商用。但第二三四个，研究寥寥。仅举几例，GAN的解码器，支撑集（映射到非零值的自变量）不可得；DRAW模型乃至VAE模型，概率密度不可得；哪怕已解析地了解某分布，解析的度量（如KL距离，earth-mover距离）还是不可得。

这句话说的简单点就是：深度产生式模型不容易甚至不可能进行测试和度量

即使你能合成个把接近真实数据的样本，你还离目标差得远咧！我们想要了解它们多大程度上“接近真实数据”，想要得到灵活的条件密度（如增强学习中复杂的规则），还想要在一大家子的先验分布和后验分布上做变分推断！

高斯分布

你思索片刻，想起了你的“亲密战友”高斯分布。它在你为复杂的概率分布理出头绪而焦头烂额的时候，雪中送炭：采样方便、解析的密度已知、KL距离容易计算，还有中心极限定理的保证——任何大的数据都趋近于高斯分布，所以你怎么用它几乎都对！更别提重参数化技巧啦，你还能梯度反传。这些易用的性质，让高斯分布在产生式模型和增强学习里风头无两。

不过先别高兴的太早！许多实在的场景，我们还不能用它。在增强学习里，常有连续控制机器的场景，控制规则得用多变量高斯、对角化方差矩阵（motivariate Gaussians with diagonal covariance matrices）才行呐~

相形之下，只用单模式高斯分布模型（uni-modal Gaussian distribution），在需要多模式分布（multi-modal distribution）采样的时候，乏善可陈。试举一例，要机器人绕过湖面，到达湖后的房子，规则该是二者选一：向左绕或向右绕。单模式高斯模型容不下两个规则，所以就线性地中和了它们：直直地走向湖心。糟了个糕！

高斯分布失之过简。它不能容下对立的假设；高维的情况下分布也不够集中，出现边缘效应；还不能应对罕见事物。有没有更好的分布模型，可以满足如下条件呢？

1.足够复杂，容得下多个模式，比如增强学习中的图像和评分函数；
2.足够简单，能采样，能估计密度，能重参数化。

答案是：有！你可以做这几件事。

目标分布

以下几个办法，能帮你实现需求：

模型融合。一个模型对付一个子任务。
立足当下。一次只考虑一步，让复杂的选择在此刻退化，而仅存一端。
非定向图模型（undirected graphical models）。
标准化流。你将得到一个理想的模型：可逆、可计算分布变换体积、易模拟。

下面介绍标准化流。

预备知识

为了建立直观，举例如下。让X服从均匀分布 $\operatorname{Uniform}(0,1) ， Y=f(X)=2 X+1$ 。Y 是X的仿射变换。如下图所示。

两个方块代表概率在实数域的分布函数 $p(x)$ 和 $p(y)$ ，函数值代表概率密度的值。概率值的积分必须等于1，任何一个分布都是这样。所以自变量变化范围扩展为两倍后，函数值就要相应地缩减一半，从而二者面积都等于1.

也就是说，当 $X$ 水平被拉长两倍后，竖直方向上也会相应的被压缩成原来的一半。

这就是为什么模型叫标准化流，因为有加和等于1的约束

若考虑X上的极小变化 $x+d x ， \mathrm{Y}$ 相应发生变化 $y+d y$ ，如下所示:

左半边的图代表一个局部增函数 $(d y / d x>0) $``$ (d y / d x<0)$

的局部变化：

$p(x) d x=p(y) d y$

为了让概率的变化守恒，我们只关心变化的量，而不关心变化的方向。（实际上，不管f(x)随着x变化增或者减，都不影响，我们假设y也做出相应的变化。）那么，我们有 :

$p(y)=p(x)|d x / d y|$

在log空间，这等价于：

$\log p(y)=\log p(x)+\log |d x / d y|$

现在考虑多变量的例子。先考虑两个变量的情况。同上面的情况，缩放定义域中的无穷小量，我们就得到一个二维的、边长为

不妨假设这个小方块就是一个边长为1的原点处的方块，那么顶点为 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ 。

乘以矩阵 $[[a, b] ;[c, d]]$ ,我们的方块就会变成一个平行四边形，如下图。 $(0,0)$ 还在 $(0,0),(1,0)$ 来到了 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(0,1)$ 被送往 $(c, d) ，(1,1)$ 到达 $(a+c, b+d)$ 。

于是，一个X域边长为 1 的方块转型为平行四边形，面积大小变成了 $a d-b c$ 。这个平行四边形的面积，正是转换矩阵的行列式。三维的情况时，“转换为平行四变形”就对应为“转换为平行六面体”，或者更高维的情况也是以此类推，“转换为平行 $n$ 维体”。行列式的道理也还是如此，线性变换后的体积，正好对应于变换矩阵的行列式。

要是转换函数f是非线性的咋办？你就不该把它简单地看作全空间的一个简单的平行体，而是对空间的每个点，对应于一个无穷小平行体。数学形式上看，局部线性变换对应的体积变化为 $\left|\operatorname{det}\left(J\left(f^{-1}(x)\right)\right)\right|$ , 这里 $J\left(f^{-1}(x)\right)$ 代表雅各比矩阵的逆一是 $|d x / d y|$ 的高维变种。

于是:

$$ \begin{array}{c} y=f(x) \ p(y)=p\left(f^{-1}(y)\right) \cdot\left|\operatorname{det} J\left(f^{-1}(y)\right)\right| \ \operatorname{logp}(y)=\log p\left(f^{-1}(y)\right)+\log \left|\operatorname{det}\left(J\left(f^{-1}(y)\right)\right)\right| \end{array} $$

行列式可以被认为是变换 $y=f(x)$ 的局部线性体积变化率。

标准化流

通过预备知识中的手段我们可以得到可逆函数的双射方法，但是为了增强模型的表达能力，我们是可以把一系列双射连起来，在神经网络里像链子一样把它们拴在一起，这个结构就叫“标准化流”。

要是双射函数有可变的参数，你就可以优化这个参数，该双射就可以把基础分布转换成任意的分布。每个双射函数可以写成一个网络的层，你可以用一个优化器来学习参数，最终拟合真实数据。算法通过最大似然估计，把拟合真实数据的分布问题变成拟合变换后的概率的对数密度问题。

用对数密度的原因是为了计算的稳定性。

Normalization Flow

论文链接：https://arxiv.org/pdf/1505.05770.pdf

在variational inference中，我们通常是在优化所谓的evidence lower bound(ELBO)，即：

$$ \begin{array}{l}\log p_{\theta}(\mathbf{x})=\log \int p_{\theta}(\mathbf{x} \mid \mathbf{z}) p(\mathbf{z}) d \mathbf{z} \ =\log \int \frac{q_{\phi}(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})}{q_{\phi}(\mathbf{z} \mid \mathbf{x})} p_{\theta}(\mathbf{x} \mid \mathbf{z}) p(\mathbf{z}) d \mathbf{z} \ \geq-\mathbb{D}_{\mathrm{KL}}\leftq_{\phi}(\mathbf{z} \mid \mathbf{x}) | p(\mathbf{z})\right+\mathbb{E}_{q}\left\log p_{\theta}(\mathbf{x} \mid \mathbf{z})\right=-\mathcal{F}(\mathbf{x}),\end{array} $$

最大化 $p_\theta(x)$ 需要我们找到近似于后验概率 $p_{\theta}(z \mid x)$ 的近似分布 $q_{\phi}(z \mid x)$ ，但一般的高斯分布没有办法拟合足够复杂的后验分布。因此，NF（normalization flow）应运而生。NF用一系列的可逆映射将原始分布转换成新的分布，通过优化这一系列分布，即可实现将简单的高斯分布转换为复杂的真实后验分布的目的。

后，新变量的分布为:

$q\left(\mathbf{z}^{\prime}\right)=q(\mathbf{z})\left|\operatorname{det} \frac{\partial f^{-1}}{\partial \mathbf{z}^{\prime}}\right|=q(\mathbf{z})\left|\operatorname{det} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{z}}\right|^{-1}$

第二项即是上一节中所讲的逆函数的雅克比矩阵。接着，为了构建足够复杂的分布，我们可以用多个类似的可逆映射，映射套映射：

$$ \begin{aligned} \mathbf{z}_{K} & =f_{K} \circ \ldots \circ f_{2} \circ f_{1}\left(\mathbf{z}_{0}\right) \ \ln q_{K}\left(\mathbf{z}_{K}\right) & =\ln q_{0}\left(\mathbf{z}_{0}\right)-\sum_{k=1}^{K} \ln \left|\operatorname{det} \frac{\partial f_{k}}{\partial \mathbf{z}_{k-1}}\right|\end{aligned} $$

用这样的方式，当计算转换后的分布 $q_K$ 的pdf时，不用显式地计算 $q_K$ ，而是通过初始分布 $q_0$ 的 pdf 以及映射的雅克比矩阵即可计算。而一般函数的雅克比矩阵的计算复杂度达到了 $O\left(D^{3}\right)$ ，在 NF 的应用中显然不可行。因此，NF需要找到雅克比矩阵可以被高效运算的可逆映射函数。

在原文中，作者给出了两种映射函数的选择，分别是：

Planar Flow

$f(\mathbf{z})=\mathbf{z}+\mathbf{u} h\left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{z}+b\right)$

其中，

Radial Flow $$ \begin{array}{l}f(\mathbf{z})=\mathbf{z}+\beta h(\alpha, r)\left(\mathbf{z}-\mathbf{z}_{0}\right) \ \left.\left|\operatorname{det} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{z}}\right|=1+\beta h(\alpha, r)^{d-1}\left1+\beta h(\alpha, r)+\beta h^{\prime}(\alpha, r) r\right)\right\end{array} $$

Planar flow和radial flow分别是在平面空间和球形空间中对原分布进行变换。下图形象的表示了NF的不同长度（也可以叫层数）K与最终分布的关系。

这两种简单的映射函数只适用于低维的情况，为了处理高维的依赖，Autoregressive Flows（自回归流）是一种合适的选择。

Autoregressive Flows

关于自回归流，有三篇比较经典的文章，包括 Real-NVP，MAF和IAF。这里先讲Real-NVP和IAF。 MAF和IAF想法是镜像的，就不赘述了。

需要说明的是，所有自回归流的模型都是建立在这样的一条理论基础上的：三角矩阵的行列式是其对角元素的乘积。形式上，第 $i$ 维的变量 $x_{i}$ 的生成只依赖于之前生成的变量 $x_{1: i-1}$ ，即 :

$$ \begin{aligned} p\left(x_{i} \mid x_{1: i-1}\right) & =\mathcal{N}\left(x_{i} \mid \mu_{i},\left(\exp \alpha_{i}\right)^{2}\right) \ \mu_{i} & =f_{\mu_{i}}\left(x_{1: i-1}\right) \ \alpha_{i} & =f_{\alpha_{i}}\left(x_{1: i-1}\right)\end{aligned} $$

Real-NVP

这篇文章引入了 affine coupling layer ( 仿射耦合层) 的概念。给定一个 $D$ 维的输入 $x$ ， $d<D $``$ y$ 如下计算 :

$$ \begin{aligned} y_{1: d} & =x_{1: d} \ y_{d+1: D} & =x_{d+1: D} \odot \exp \left(s\left(x_{1: d}\right)\right)+t\left(x_{1: d}\right), \end{aligned} $$

$s$ 和 $t$ 分别对应上面的 $\alpha$ 和 $\mu$ 。也就是说，Real-NVP将输入的一部分维度保持不变，而另一部分维度进行变换。这样得到的映射函数的雅克比矩阵为 :

$$ \frac{\partial y}{\partial x^{T}}=\left[\begin{array}{cc} \mathbb{I}_{d} & 0 \ \frac{\partial y_{d+1: D}}{\partial x_{1: d}^{T}} & \operatorname{diag}\left(\exp \lefts\left(x_{1: d}\right)\right\right) \end{array}\right] $$

它的行列式可以被简单的计算 : $\exp \left[\sum_{j} s\left(x_{1: d}\right)_{j}\right]$ 。并且由于计算行列式的过程不依赖于 $s$ 或 $t$ 的行列式，所以可以选取任意复杂的函数作为 $s$ 和 $t$ 。

此外，这样的映射函数还有一个性质，即它的逆映射的计算复杂度和正向的计算复杂度相等：

$$ \begin{array}{c}\left{\begin{array}{ll}y_{1: d} & =x_{1: d} \ y_{d+1: D}=x_{d+1: D} \odot \exp \left(s\left(x_{1: d}\right)\right)+t\left(x_{1: d}\right)\end{array}\right. \ \Leftrightarrow\left{\begin{array}{l}x_{1: d}=y_{1: d} \ x_{d+1: D}=\left(y_{d+1: D}-t\left(y_{1: d}\right)\right) \odot \exp \left(-s\left(y_{1: d}\right)\right),\end{array}\right.\end{array} $$

也就是说，sampling和inference的时间复杂度相等，而且由于逆映射的计算也不依赖于 $s$ 和 $t$ 的逆，所以其函数的选择可以任意复杂。

，即可高效的实现该层的计算：

$y=b \odot x+(1-b) \odot(x \odot \exp (s(b \odot x))+t(b \odot x))$

但在实验中，Real-NVP的效果并没有IAF和MAF好。

IAF

。显然这个过程是没有办法并行的，sample 时速度很慢。IAF 可以看做是上式的 reparametrisation，即：

$x_{i}=\mu_{i}\left(z_{1: i-1}\right)+\sigma_{i}\left(z_{1: i-1}\right) \cdot z_{i}$

其中，，因此可以被并行的计算：

$x=\mu(z)+\sigma(z) \circ z$

也就是说，在sampling的时候，IAF可以被高效的并行。但是在inference的时候，想要得到

相反的，MAF在训练时快，sample时慢。Parallel-Wavenet实现了两者的结合，用MAF作为teacher model，负责训练时提供分布的指导信息；而用IAF作为student model，负责最终的sample。这个基于knowledge distillation的方法在语音合成上取得了很好的效果，同时也保证了生成语音的速度。

WaveGlow and FloWavenet

这里再介绍一下Normalization Flow在语音合成上比较新的工作。WaveGlow和FlowWavenet的模型基本相同，也是同时放出来的，这里按照WaveGlow的模型进行介绍。流程图如下：

WaveGlow引入了Real-NVP中的affine coupling layer，每一次对输入向量的一半维度进行变换，另一半保持不变。上图右侧的转换过程可以表示为：

$$ \begin{array}{c}x_{a}, x_{b}=\operatorname{split}(x) \ (\log s, t)=W N\left(x_{a}, \text { mel-spectrogram }\right) \ x_{b} \prime=\boldsymbol{s} \odot x_{b}+t \ f_{\text {coupling }}^{-1}(x)=\operatorname{concat}\left(x_{a}, x_{b} \prime\right)\end{array} $$

是任意的变换函数，两篇文章均用的non-causal Wavenet，也可以说是non-autoregressive的wavenet。该变换的雅克比矩阵的行列式为：

$\log \left|\operatorname{det}\left(\boldsymbol{J}\left(\boldsymbol{f}_{\text {coupling }}^{-1}(\boldsymbol{x})\right)\right)\right|=\log |\boldsymbol{s}|$

前面提到过，Real-NVP每一层只能变换一部分的输入。为了实现完整的变换，WaveGlow引入了与Glow10中相似的1x1 Invertible Convolution，因为还没看过Glow，所以先留作一个坑。FlowWavenet中，作者则简单的交换了输入向量奇偶索引上的元素来实现这一目的。此外，两个模型还有一些微小的差异，但motivation和idea都是一样的。